Da cosa dipende la frequenza di un pacchetto d’onda?

Il concetto di pacchetto d’onda è un concetto molto generale, che può essere impiegato in fisica per qualsiasi entità scomponibile in una somma finita o infinita di onde diverse. Il pacchetto d’onda, come suggerisce il nome, è una entità costituita da un insieme infinito di onde sinusoidali con diverso numero d'onda che interferiscono costruttivamente in una piccola regione e distruttivamente nel resto dello spazio (o del tempo, a seconda della sua natura). Possiamo immaginarlo  ad esempio come nella figura seguente:

Ma la forma può essere arbitraria, purché esso sia non nullo solo in una finita zona di esistenza.

Matematicamente un andamento come quello mostrato è descrivibile più in generale da una equazione del tipo:

 

 

che  è semplicemente una sinusoide inviluppata in una gaussiana.

Possiamo a questo punto interpretare la frequenza da un punto di vista matematico oppure da un punto di vista fisico.

Dal punto di vista matematico, possiamo spiegare il significato della frequenza del pacchetto invocando l’analisi di Fourier: il teorema di Fourier ci dice che ogni segnale periodico si può pensare come somma (o integrale) di funzioni sinusoidali, con opportuna frequenza e ampiezza. In seguito il teorema di Fourier è stato generalizzato nell’ambito dell’analisi armonica, e possiamo ormai dire che ogni funzione (ragionevolmente regolare) può essere scomposta in una serie di sinusoidi con uno spettro potenzialmente continuo e infinito di frequenze (dominio delle frequenze). Questo porta alla trasformata di Fourier, che è una funzione che descrive la composizione di un’altra nel dominio delle frequenze. Si può riottenere la funzione di partenza mediante l’operazione inversa, detta di antitrasformata.

Per approfondimenti sull’analisi di Fourier si possono consultare queste precedenti risposte:

http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=10378

http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=9488

 

Per i nostri scopi basta ricordare che la trasformata di Fourier ci dice la composizione in frequenze di una qualsiasi funzione: applicandola ad un pacchetto d’onda avremo la sua scomposizione in frequenze.

Passando per un esempio tratto dalla fisica possiamo rendere più visibile il ragionamento. Esaminiamo infatti la figura sottostante:

Il pacchetto d’onde a sinistra è composto in questo caso da un ‘treno’ di sinusoidi con frequenza 100 Hz che comprende 100 cicli completi, a destra è la sua trasformata di Fourier. Possiamo immaginare uno strumento musicale che emetta un simile suono per una durata finita (1 s). La trasformata a destra ci dice che tale pacchetto è composto essenzialmente da una sinusoide di frequenza 100 Hz, ma ci sono piccolissimi contributi di frequenze vicine. Queste sono necessarie per portare all’interferenza distruttiva al di fuori del tempo in cui il pacchetto è non nullo. Se estendessimo per un tempo maggiore la durata del suono lo spettro delle frequenze si stringerebbe attorno al valore ‘esatto’ di 2.5 Hz. Ciò sarebbe vero solo per suono di durata infinita. Passando ora ad un pacchetto molto più compatto come quello della figura seguente, possiamo notare un deciso cambiamento:

 

Aver ristretto il numero di periodi del treno di onde ha portato ad un notevole allargamento della banda di frequenze che lo compongono. Ciò ci fa capire che un pacchetto d’onde non è composto da una singola frequenza, ma piuttosto da un corrispondente ‘pacchetto’ di frequenze. Intuiamo anche (ma questo ovviamente si può dimostrare in maniera rigorosa mediante l’analisi armonica) che tanto più il pacchetto d’onda è localizzato (nel tempo, ma potrebbe valere anche per lo spazio), tanto più la gamma di onde monocromatiche che lo compongono è ampio. Come osservato prima, questo è intuibile perché occorre far sì che queste interferiscano distruttivamente al di fuori della regione in cui questo è non nullo, mentre per treni di onde infinite la sua composizione spettrale tenderà ad un solo valore non nullo, che coincide con la sinusoide stessa. Abbiamo fatto l’esempio di suono sinusoidale puro, ma il concetto può essere facilmente generalizzato a qualsiasi forma d’onda, cioè il timbro del suono.

Ciò che impariamo da quanto detto è un concetto molto generale e importante in pressoché tutti i rami della fisica: la ‘durata’ di un pacchetto d’onde (intesa come il tempo in cui questo è non nullo) è inversamente proporzionale all’ampiezza della sua composizione spettrale. Cioè:

tanto più un segnale è localizzato, tanto più per rappresentarlo dovrò ricorrere ad un ampio spettro di frequenze!

Questo fatto riveste una importanza fondamentale in meccanica quantistica, essendo alla base del principio di indeterminazione di Heisenberg. In meccanica quantistica, infatti, la posizione di una particella è espressa non come un singolo valore, ma come una funzione di probabilità definita in un certo spazio, cioè un pacchetto d’onde (il che porta quindi al dualismo onda-particella). Poiché in meccanica quantistica l’impulso di una particella è dato dalla trasformata di Fourier della sua posizione, se consideriamo una particella ben localizzata (pacchetto d’onde di posizione ‘stretto’), avremo una grande indeterminazione sulla sua velocità, e viceversa.

Appare chiaro ora che qualora si voglia definire la POSIZIONE di una particella all’interno del pacchetto d’onda (all’interno della curva di Figura E), bisognerà confinare la particella in una "ristrettissima" regione di spazio, la qual cosa -seguendo Fourier- si ottiene sovrapponendo insieme molte onde di lunghezza d’onda differente.

Poiché in meccanica quantistica, a causa dell’ipotesi di de Broglie lunghezza d'onda e quantità di moto (cioè la velocità) sono strettamente collegate, se aumenta il numero delle onde sovrapposte che descrivono una particella, deve aumentare anche il numero delle quantità di moto dell’insieme!

Ricapitolando, quindi, possiamo dire che più si definisce la posizione della particella (che corrisponde ad avere un pacchetto d’onde più stretto), più il numero delle sue possibili velocità aumenta (aumenta la larghezza delle corrispondenti frequenze), e viceversa.