Qual è la differenza tra trasformazioni di Galileo e di Lorenz? Trasformazioni, a cosa si riferisce, su cosa agisce?

Innanzitutto scriviamo per esteso i due gruppi di trasformazioni considerando, per semplicità, un sistema di riferimento con una sola coordinata spaziale $x$ oltre alla coordinata temporale $t$. Le trasformazioni di Galileo sono

$$left{egin{array}{l}x’=x-vtt’=tend{array} ight.$$

Le trasformazioni di Lorenz sono

$left{egin{array}{l} x’=frac{x-vt}{sqrt{1-left(frac{v}{c} ight)^2}} t’=frac{t-frac{vx}{c^2}}{sqrt{1-left(frac{v}{c} ight)^2}} end{array} ight$

Dal punto di vista strettamente matematico sono due insiemi di trasformazioni di coordinate: nell’ambito di un piano cartesiano in cui un asse è individuato dalla variabile $x$ e l’altro dalla variabile $t$, queste equazioni fanno corrispondere ad ogni coppia di coordinate $(x,t)$ una coppia di coordinate $(x’,t’)$. Quindi trasformano ogni punto di questo piano cartesiano in un altro punto dello stesso piano cartesiano. Naturalmente ogni coppia di trasformazioni produce effetti diversi sullo stesso piano vcartediano. Ogni coppia di equazione rappresenta un insieme di trasformazioni perché ogni possibile scelta del parametro $v$ fornisce una trasformazione diversa (nelle trasformazioni di Lorenz il parametro $c$ va considerato fissato e uguale per ogni trasformazione di questo tipo).

Si può dire qualcosa d’altro nel momento in cui si interpretano fisicamente i simboli presenti. Questi due gruppi di trasformazioni definiscono due diverse teorie della relatività tra sistemi di riferimento inerziali: la Relatività di Galileo è basata sulle trasformazioni di Galileo mentre la Relatività di Einstein è basata sulle trasformazioni di Lorenz. In questo ambito $x$ e $x’$rappresentano le coordinate spaziali (quindi il numero che descrive la posizione di un oggetto o un evento) in due sistemi di riferimento diversi, $t$ e $t’$ rappresentano le coordinate temporali (quindi il numero che descrive quando avviene un determinato evento) in due sistemi di riferimento diversi, $v$ è la velocità relativa con cui si muovono i due sistemi di riferimento e $c$ (solo per le trasformazioni di Lorenz) è la velocità invariante (cioè gli oggetti che si muovono a velocità $c$ in un sistema di riferimento sono visti muoversi con questa stessa velocità in tutti gli altri sistemi di riferimento), sperimentalmente $c$ equivale alla velocità della luce nel vuoto.

E’ importante e interessante capire che l’identificazione tra $c$ e la velocità della luce nel vuoto è un fatto puramente sperimentale e non necessario alla validità della teoria della relatività di Einstein: se un giorno si scoprisse che la luce nel vuoto non ha sempre la stessa velocità in tutti i sistemi di riferimento (o, equivalentemente, che i fotoni hanno massa o che esistono particelle a massa reale più veloce della luce nel vuoto), ciò non implicherebbe automaticamente la falsificazione delle trasformazioni di Lorenz.

Un’altra caratteristica interessante di queste trasformazioni è il fatto che quelle di Galileo possono essere ottenute come approssimazione di quelle di Lorenz in un caso particolare. Infatti se consideriamo le trasformazioni di Lorenz nel caso in cui $v$ sia molto più piccolo di $c$ allora possiamo approssimare le radici quadrate al denominatore al valore 1, inoltre il secondo addendo presente al numeratore dell’equazione$$t’=frac{t-frac{vx}{c^2}}{sqrt{1-left(frac{v}{c} ight)^2}}$$sarà praticamente nullo. Quindi, nell’approssimazione di velocità relative basse, le trasformazioni di Lorenz diventano quella di Galileo. Tenendo presente che $c=300000km/s$ è facile capire che per i fenomeni di cui siamo testimoni nella vita di tutti i giorni le trasformazioni di Galileo sono una descrizione corretta della realtà.

Quindi queste trasformazioni, per entrambi i gruppi, servono per collegare le osservazioni fatte su uno stesso fenomeno fisico da parte di osservatori inerziali che sono in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro. Nessun osservatore misurerà le stesse posizioni e gli stessi tempi degli altri osservatori, ma ogni osservatore potrà calcolare i dati ottenuti dagli altri applicando le opportune trasformazioni ai propri dati.