Prima di dimostrare il teorema è conveniente trovare alcune nozioni equivalenti a quella di “quadrilatero a
diagonali ortogonali”. Dimostriamo allo scopo una piccola proposizione.
TEOREMA: Sia ABCD un quadrilatero convesso. Allora sono fatti equivalenti:
a) AC è ortogonale a BD
b) se indichiamo con S l’area di ABCD, allora 2S=AC•BC
c) AB2+CD2=BC2+AD2.
Dimostrazione:
Per semplicità di scrittura chiamiamo a :=AB, b:=BC, c:=CD, d:=DA. Sia F il punto di incontro delle diagonali
(sicuramente è interno al poligono in quanto per ipotesi è convesso). Poniamo anche:
e1:=AF, e2=FC, d1=BF, d2=FD, α=AFB
Ora, applicando il teorema di Carnòt, nei quattro triangoli formati dalle diagonali, determiniamo la lunghezza dei lati
in funzione delle porzioni di diagonale e dell’angolo al centro nel seguente modo.
a2 = d12+e12-2d1e1cos(α), b2=d12+e22+2d1e2cos(α),
c2=e22+d22-2e2d2cos(α), d2=e12+d22+2e1d2cos(α).
Sommando otteniamo che:
a2+c2=b2+d2 ⇔ -2(d1e1+e2d2) cos(α)= 2(d1e2+d2e1)cos(α) ⇔ cos(α)=0.
Abbiamo così dimostrato (a) ⇔ (c).
Dimostriamo ora (a) ⇔ (b), facendo riferimento alla stessa figura.
Calcoliamo l’area del quadrilatero utilizzando i quattro triangoli formati dalle diagonali.
2S= e1d1sin(α) +e2d1sin(α) +e2d2sin(α) + e1d2sin(α)= AC•BD sin(α)
Ne deduciamo che: 2S= AC•BD ⇔ sin(α)=1 ♦
Dimostrato questo, analizziamo il teorema a cui la domanda si riferisce, e facciamo riferimento alla seguente figura.
L’idea è quella di calcolare i lati del nuovo quadrilatero in funzione di lati e angoli del quadrilatero di partenza. In
particolare andremo a utilizzare la caratterizzazione (c) del teorema appena dimostrato. In questo caso infatti è più
immediato lavorare sulla lunghezza dei lati che non sull’ampiezza degli angoli.
TEOREMA: Sia ABCD un quadrilatero convesso. Si costruiscano su AB, BC, CD, DA dei triangoli rettangoli isosceli
aventi tali segmenti come ipotenusa1 e come vertici, rispettivamente i punti P, Q, R, S, giacenti all’esterno di ABCD.
Allora il quadrilatero PQRS è a diagonali ortogonali.
Dimostrazione.
Poniamo, per semplicità di scrittura a:= AB, b:= BC, c:= CD, d:=DA e siano α, β, γ, δ gli angoli di vertici A, B, C, D,
come rappresentato in figura. Miriamo a dimostrare che PQ2+RS2=QR2+SP2. Apparentemente sembra che sia
necessario separare il caso in cui il “nuovo” lato sia esterno ad ABCD da quello in cui il “nuovo” lato è interno. Nel
primo caso utilizzeremo un certo angolo, nel secondo il suo esplementare. Quindi risulterà univoca la formula per
trovare i lati di PQRS (cos(-x)=cos(x)). Infatti utilizzando Carnòt nei triangoli PBQ, QCR, RDS, SAP e ricordando che
cos(3π/2 -x)=cos(π/2 +x)= -sin(x), otteniamo:
PQ2=a2/2 + b2/2 +ab sin(β), QR2=b2/2 + c2/2 + bc sin(γ)
RS2=c2/2 + d2/2 + cd sin(δ) SP2=d2/2 + a2/2 + ad sin(α)
Sommando ora le quantità che ci servono otteniamo che
PQ2+RS2=QR2+SP2 ⇔ ab sin(β) + cd sin(δ) = bc sin(γ)+ ad sin(α)
Ricordando che il doppio dell’area di un triangolo qualunque è data dal prodotto di due lati consecutivi moltiplicata per
il seno dell’angolo fra essi compreso, notiamo che i due membri dell’uguaglianza precedente rappresentano entrambi il
doppio dell’area del quadrilatero ABCD (Ottenuto come unione dei triangoli ABC e CDA a sinistra, e come unione dei
triangoli BCD e DAB a destra). Quindi il teorema è dimostrato ♦
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1L’ipotesi che i triangoli esterni al quadrilatero vengano costruiti con l’ipotenusa su ciascun lato del quadrilatero non è
presente nella domanda, ma si può verificare facilmente che il teorema non sussiste se tali triangoli non vengono
costruiti in questo modo.