Dal punto di vista
cinematico, cioè analizzando solo il comportamento delle grandezze
quali velocità e accelerazione, se la portata del liquido in uscita
è abbastanza grande, non ci sono differenze tra il moto del fluido
indicato nella domanda e la caduta di un grave. C’è invece una
differenza sostanziale nel fatto che la forma di una data porzione del
fluido si modifica durante la caduta, cosa che invece non accade per un
corpo rigido.
Durante la caduta, la
velocità di ogni singola molecola, che sia di fluido o del corpo
rigido, accelera verso il basso per effetto della gravità. Questo
significa che, per una molecola che inizia il moto all’istante 0, il modulo
della velocità al passare del tempo è data dalla
formula
Dove
Vo è la velocità iniziale. Nel caso del corpo rigido, Vo sarà quella
impressa dal "lanciatore", mentre, per l’acqua in uscita dal
rubinetto, essa sarà determinata dalla pressione presente
nell’impianto e dal grado di apertura del rubinetto (cioè quanti giri
sono stati effettuati dalla manopola o il grado di solevamento della leva,
in base al modello di rubinetto).
Per il corpo
rigido questa formula vale non solo per la singola molecola, ma per tutte le
molecole contemporaneamente. Quindi in qualunque istante tutti i punti del
corpo rigido sono in movimento con la stessa velocità data dalla
formula scritta sopra. Quanto appena detto per il corpo rigido vale anche,
con differenze non importanti per il nostro discorso, per una goccia d’acqua
o qualunque quantità di fludo che venga messa in caduta libera
contemporaneamente in tutti i suoi punti.
Per l’acqua
in uscita dal rubinetto le cose invece sono un po’ più complesse
perché le molecole non iniziano il loro moto tutte insieme, dato che
non giungono tutte contemporaneamente all’imboccatura del rubinetto. Se
misuriamo la velocità del fluido lungo la colonna d’acqua in caduta
troveremo valori diversi in base all’altezza perché l’acqua che si
trova più in basso è partita prima e quindi ha accelerato per
un tempo maggiore rispetto all’acqua che si trova più vicina
all’imboccature del rubinetto. Questo provoca la deformazione di cui si
parlava all’inizio, perché la portata dell’acqua deve rimanere
costante lungo tutta la colonna d’acqua: se dal rubinetto esce un decilitro
d’acqua al secondo allora qualunque recipiente mettiamo lungo la colonna
d’acqua si riempirà di un decilitro d’acqua al secondo,
indipendentemente dalla posizione in cui tale recipiente è
posizionato.
È
facile rendersi conto che la portata di un fludio che scorre si può
calcolare moltiplicando il modulo della velocità del fluido per
l’area attraversata dal fluido in direzione perpendicolare alla sua
direzione del moto. Infatti la portata è un volume diviso un
tempo, . Il volume è area di base per altezza, quindi
. In questo caso
l’altezza è la spazio che è stato percorso dall’acqua nel
tempo t, per cui è
proprio la velocità con cui si sta muovendo l’acqua, . Ma abbiamo visto
che V aumenta man mano che l’acqua scende quindi, dovendo rimanere
costante il prodotto, se V aumenta A deve diminuire in
proporzione inversa: pertanto la colonna d’acqua si assottiglia nei punti
più lontani dall’imboccature del rubinetto.
È
interessante a questo punto calcolare la formula che ci fornisce l’area
della sezione nei diversi punti della colonna. Per fare questo calcolo non
useremo la formula della velocità ricavata prima perché il
tempo che compare in quella formula è diverso per ogni porzione della
colonna d’acqua. È invece utile e rapido usare il Teorema
di Bernoulli che collega direttamente la velocità di un
fluido con la sua posizione e la pressione a cui è sottoposto. Per
tale teorema in un qualunque fluido deve rimanere costante la seguente
somma
dove ρ
è la densità del fluido, P la pressione, g
l’accelerazione di gravità, h l’altezza a cui si trova la
porzione di fluido rispetto ad un riferimento dato e
V la sua velocità.
Nel nostro caso
possiamo considerare la densità costante lungo tutta la colonna
perché l’acqua è un fluido incompressibile, cioè un
fluido le cui variazioni di densità sono molto piccole a meno che non
siano in gioco variazioni di pressione e temperatura molto grandi; possiamo
inoltre considerare la pressione costante lungo tutta la colonna d’acqua
dato che essa è estesa solo poche decine di centimetri. Di
conseguenza, indicando con H l’altezza del rubinetto e con
y l’altezza di un punto generico della colonna d’acqua rispetto al fondo del lavandino, deve valere
la seguente uguaglianza
Da cui
.
Dovendo rimanere
costante la portata deve valere l’uguaglianza
dove Ao
è l’area dell’imboccatura del rubinetto. Per cui
.
Nel caso di un
rubinetto di apertura circolare anche la sezione della colonna d’acqua
sarà sostanzialmente circolare lungo tutta la sua altezza e il flusso
d’acqua avrà forma indicata nella figura seguente
I quttro grafici si
riferiscono a valori crescenti della velocità dell’acqua all’uscita
dal rubinetto. Si può notare che l’assottigliamento è tanto
più marcato quanto minore è la velocità iniziare,
perché più è lenta l’acqua in partenza e maggiore
è, in percentuale, l’aumento della velocità dovuto alla
gravità. Per valori molto elevati la colonna d’acqua che in
realtà deve sempre avere un assottigliamento, è di fatto
indistinguibile da un cilindro.
Come detto
all’inizio tutto questo discorso nell’ipotesi in cui siano trascurabili gli
effetti di tensione superficiale, cioè l’energia associata alla forma
di un oggetto, energia che per i fluidi può non essere trascurabile a
seconda dei contesti. In particolare la non trascurabilità della
tensione superficiiale può intervenire a modificare quanto detto in
due modi:
1) Se la colonna
d’acqua è troppo lunga, cioè se l’assottigliamento diventa
eccessivo, allora le forze di superficie, che in genere tendono a ridurre la
superficie, frantumano la colonna d’acqua trasformando il flusso continuo in
un insieme di goccioline separate in caduta libera
2) Se la
velocità di uscita dal rubinetto è troppo bassa le forze di
tensione superficiale non permettono all’acqua vicino all’imboccatura di
allungarsi troppo creando la colonna d’acqua, ma trattengono l’acqua sospesa
in una bolla attaccata al rubinetto finché il peso di tale bolla non
è così grande da farla staccare e farla cadere come una goccia
indipendente: è quello che accade quando un rubinetto dalla chiusura
difettosa gocciola ad intermitteza.