Come si dimostra, geometricamente, che,in un triangolo qualsiasi(lati : a>b>c), (b^2-c^2) = [2 x (proiez.mediana ad “a” su “a”)x a]? Grazie e complimenti!

Si tratta di una proprietà semplice e curiosa poiché da essa si deduce una importante proprietà, elementare, dei triangoli isosceli. Dal momento che in ogni triangolo al lato maggiore sta opposto l’angolo maggiore, e dal momento che un triangolo può avere al più un angolo ottuso, non è restrittivo supporre che il triangolo sia dato come nella seguente figura:

I lati, come da richiesta, soddisfano alla condizione a>b>c, AM è mediana del lato a mentre HM è la sua proiezione sul lato a. Va dimostrato che

b²-c²=2aHM.         (1)

Si tratta di usare il teorema di Pitagora due volte. Infatti, l’altezza AH si trova dalla relazione

AH²=c²-BH²=c²-(BM-HM)²=c²-BM²-HM²+2BM HM

ma si trova anche dalla relazione

AH²=b²-CH²=b²-(CM+HM)²=b²-CM²-HM²-2CM HM.

Uguagliando le due relazioni precedenti si trova

b²-CM²-HM²-2CM HM=c²-BM²-HM²+2BM HM

che fornisce, dal momento che CM=BM,

b²-c²=2(CM+BM)HM=2 AB HM

che è la (1).

Osservazione: Se si avesse M=H, ovvero se la mediana condotta da A al lato BC fosse anche altezza, allora ne verrebbe b²-c²=0, ovvero b=c, cioè il triangolo ABC sarebbe isoscele. La formula (1) dunque ha come corollario la seguente ben nota proprietà dei triangoli: se in un triangolo una mediana è anche altezza allora il triangolo è isoscele sulla base su cui giace il piede dell’altezza coincidente con la mediana.