Se i numeri reali rappresentano i punti della retta e i numeri complessi i punti del piano, quale insieme di numeri rappresenta i punti dello spazio tridimensionale? In altre parole, esiste un “operatore” equivalente ad i (cioè la radice quadrata di -1) per rappresentare la coordinata, chiamiamola così, della terza dimensione? E per gli spazi con più di tre dimensioni?

Io comincerei con il dire che forse c’è un po’ di confusione con il concetto di “rappresentazione”. Non sono i numeri reali che rappresentano i punti della retta, né i numeri complessi che rappresentano i punti del piano; succede esattamente l’inverso di quello che è stato scritto nella domanda. Cioè i punti della retta reale possono rappresentare dei numeri reali e i punti del piano possono rappresentare dei numeri complessi. Ma questi sono solo due esempi di rappresentazioni. Si può parlare, ad esempio, di piano reale (i cui punti possono essere rappresentati da una coppia di numeri reali) e di piano complesso (i cui punti possono essere rappresentati dai numeri complessi). Questi sono degli esempi ma se ne possono fare molti altri.

Tornando alla domanda io direi che non è l’ “operatore i” che rappresenta i numeri complessi (tra l’atro i non è un operatore) come punti del piano. Quindi non c’è un operatore che rappresenta la coordinata della terza dimensione. Esiste lo spazio reale R3 i cui punti hanno tre coordinate reali. Per le dimensioni superiori vale la stessa cosa; cioè c’è l’n-spazio (dove n rappresenta il numero della dimensione) reale che ha n coordinate reali, oppure l’n-spazio complesso che ha n coordinate complesse.

Spero che questa risposta abbia soddisfatto la tua curiosità e fatto un po’ di chiarezza con il concetto di rappresentazione.