Quella che nella domanda è indicata come quantità di moto (500=mv) in realtà è una variazione di quantità di moto rispetto al tempo. Infatti nella domanda si dice che c’è un’espulsione di Tm=1kg/s (che non è una massa ma un flusso temporale di massa) alla velocità di v0=500m/s, per cui il prodotto di queste due quantità è 500kgm/s2, che non ha le dimensioni di una quantità di moto ma bensì di una quantità di moto fratto un tempo. Questo perché la quantità calcolata non è la quantità di moto di qualcosa ma è legato alla variazione della quantità di moto totale del carburante espulso.
Per il terzo principio, nel sistema di riferimento del centro di massa, la quantità di moto P del razzo cambierà nel tempo con lo stesso tasso (anche se, vettorialmente, con segno opposto) della quantità di moto p del carburante espulso
P’(t)=p’(t)
in questa equazione, e nei calcoli successivi, le quantità di moto di ciascuna delle due porzioni del sistema (carburante espulso e razzo) sono intese in modulo, per cui compaiono con lo stesso segno anche se ciascuna porzione viene spinta in direzione opposta rispetto all’altra.
A questo punto possiamo mettere in relazione questa informazione con il secondo principio della dinamica. Naturalmente per fare questo dobbiamo modificare l’ipotesi, assolutamente irrealistica e non fisica, di un razzo a massa infinita, che non riuscirebbe a muoversi da dove si trova indipendentemente dalla potenza con cui spingesse fuori il carburante. Diciamo che il razzo ha inizialmente una massa M0+m0 (M0 è la massa del razzo "vuoto" mentre m0 è la massa del carburante inizialmente caricato nel serbatoio) e che m0 sia molto grande in modo che il processo di espulsione duri sufficientemente per il raggiungimento della velocità desiderata. Inoltre va specificato che per poter risolvere la dinamica di questo caso dobbiamo introdurre "a mano" nelle equazioni la modalità di variazione nel tempo della massa, ma questo è abbastanza facile da fare, come vedremo tra breve.
Partiamo dal caso più semplice, e cioè quello di emissione continua. Successivamente all’accensione la massa del razzo diminuisce nel tempo con il tasso di Tm=1kg/s. Per cui possiamo scrivere che la massa M del razzo varia nel tempo secondo la legge
M(t)=M0+m0_Tmt
pertanto la quantità di moto razzo è
P(t)=[M0+m0_Tmt]V(t)
dove V(t) è la velocità del razzo. Da questa equazione possiamo ricavare, mediante derivata, la variazione nel tempo di P
P’(t)=_TmV(t)+[M0+m0_Tmt]V’(t)=Tm[v0_V(t)]_[M0+m0_Tmt]g
le seconda uguaglianza è giustificata dal fatto che la variazione della quantità di moto del razzo deve essere uguale in modulo a quella del carburante espulso più la forza di gravità (che è l’altra forza che agisce sul razzo oltre a quella generata per reazione dall’espulsione del gas). Inoltre la variazione della quantità di moto del gas è data dalla quantità di moto del carburante espulso ogni secondo dal razzo, la sottrazione tra la velocità di espulsione del gas e quella del razzo è necessaria per tenere conto che il carburante viene espulso con velocità costante rispetto al razzo e quindi, rispetto al centro di massa del sistema, la velocità con cui viene espulso varia nel tempo man mano che il razzo accelera. In definitiva l’ultimo membro della precedente catena di uguaglianze è la forza efficace che agisce sul razzo. In una situazione realistica tale forza deve essere positiva fin dall’inizio affinché il razzo inizi a sollevarsi dal suolo, per cui il prodotto Tmv0 deve essere maggiore del peso iniziale del razzo [M0+m0]g. Semplificando la precedente equazione otteniamo
[M0+m0_Tmt]V’(t)=Tmv0_[M0+m0_Tmt]g
Possiamo quindi calcolare la velocità V(t) con cui si muove globalmente il gas espulso risolvendo questa equazione differenziale con la condizione iniziale V(0)=0m/s. In tal modo si ottiene la legge oraria della velocità
Tale formula è valida finché il carburante non è completamente esaurito, cioè fino a quando Tmt=m0. Dopo quel momento la velocità comincia a diminuire per effetto della gravità secondo l’usuale moto uniformemente accelerato. In una situazione maggiormente realistica si sarebbe dovuto considerare la forza di gravità variabile con la posizione dato che in genere i razzi raggiungono altezze tali per cui il peso non può più essere considerato costante. In tal caso se tutto è modulato in modo da far raggiungere al razzo la velocità di fuga prima che il carburante finisca il razzo continua a salire indefinitamente anche se diminuendo la propria velocità.
Nel caso di emissione a intermittenza il razzo non inizia a cadere appena spenti i motori, perché continuerà a salire finché l’effetto della gravità non annullerà la velocità che ha raggiunto mentre i reattori sono stati accesi. Nel caso di un decimo di secondo di accensione e nove decimi di spegnimento può accadere sia che il razzo cominci a cadere prima della nuova accensione sia che il razzo continui a salire (ma con velocità decrescente) anche a motori spenti. Affinché il razzo resti sostanzialmente alla stessa altezza per effetto dell’intermittenza è necessario che l’impulso della gravità su un secondo sia pari alla quantità di moto retroespulsa dal razzo nel decimo di secondo di funzionamento dei reattori. Il calcolo non è semplicissimo ma trattandosi di brevi intervalli di tempo e di velocità basse possiamo approssimare la quantità di moto retroespulsa misurata nel sistema del centro di massa con quella misurata nel sistema del razzo. Per cui l’equilibrio si avrà se
Tmv0=10[M0+m0_Tmt]g
questa equazione dipende dal tempo perché man mano che il razzo svuota il proprio serbatoio è sufficiente espellere una quantità sempre minore di carburante (supponendo che sia sempre fatto alla stessa velocità). Non appena si supererà il valore di Tm dato dall’equazione si avrà una salita, seppur molto lenta e a singhiozzo.