Se consideriamo un condensatore ideale C in serie con una resistenza ideale R, alimentati da un generatore di tensione continua V0, l’analisi del circuito restituisce la seguente legge per la variazione nel tempo della carica sulle armature del condensatore
In una condizione reale bisognerebbe considerare gli effetti capacitivi parassiti comunque presenti in qualunque restistenza e gli effetti resistivi parassiti comunque presenti in qualunque condensatore e generatore. Tuttavia ai nostri fini questo non fa molta differenza dato che il comportamento qualitativo che esce fuori dall’analisi circuitale è sostanzialmente identico a quello descritto dalla formula di cui sopra.
In questa formula si vede immediatamente che il condensatore parte scarico (a t=0 risulta Q=0) poi, per valori crescenti del tempo la parentesi aumenta il proprio a partire da 0 e salendo continuamente pur però mantenendosi al di sotto del valore 1 (perché l’esponennziale non si può annullare per nessun valore finito del proprio esponente). Dal punto di vista matematico ciò significa che è necessario un tempo infinito affinché il condensatore raggiun esattamente il valore massimo CV0.
In realtà, dal punto di vista fisico, questa affermazione non ha senso, perché qualunque strumento di misura, con cui andremmo a verificare il valore della carica, ad un cetro punto non sarebbe più capace di distinguere due valori diversi ma abbastanza vicini. Questo in pratica significa che quando t è un multiplo abbastanza grande di RC il valore della parentesi è talmente vicino a 1 che praticamente nessuno strumento di misura è in grado di rilevare la differenza. Ad esempio per t=5RC la parentesi si discosta da 1 per un valore inferiore ad un centesimo, per t=7RC la differenza è inferiore a un millesimo, per t=10RC la differenza è inferiore ad un decimillesimo.
A questo punto si potrebbe pensare che, dato che le differenze tra la carica massima e quella descritta dalla formula possono diventare pari a un piccolo multiplo della carica dell’elettrone, il problema si risolva passando alla descrizione quantistica del sistema. In realtà questo non cambia molto le cose. Analizzando il moto degli elettroni dal generatore al condensatore si osserva che la probabilità che un elettrone presente inizialmente nel generatore attraversi il cavo e si depositi sull’armatura del condensatore all’inizio del processo è altissima, praticamente pari a 1 poi, man mano che passa il tempo questa probabilità diminuisce sempre di più, ma non diventa mai esattamente zero mentre la carica media che ci si aspetta di misurare ad un certo istante t finito non diventa mai esattamente pari a quella massima. Quando la differenza tra la carica massima e quella media aspettata diventa inferiore a quella di un singolo elettrone accade che, microscopicamente, il sistema entra in una specie di situazione di stallo, in cui quest’ultimo elettrone può essere osservato fuori o dentro dal condensatore con una certa probabilità. La differenza sostanziale rispetto alla descrizione classica è che a causa della natura probabilistica della meccanica quantistica, è previsto che esista una probabilità maggiore di zero che un’osservazione con precisione perfetta restituisca il condensatore completamente carico dopo un tempo finito, mentre nella descrizione classica se si avesse uno strumento a precisione perfetta (che tuttavia non può mai esistere) si misurerebbe sempre uan differenza di carica tra quella massima e quella presente, a qualunque istante di tempo.
Queste ultime considerazioni potrebbero portare ad affermare che comunque la differenza reale non è zero ma a questo proposito è essenziale riflettere sul ruolo della matematica nelle scienze sperimentali. Per quanto la matematica sia utilissima, anzi necessaria, per descrivere la natura nel modo più corretto ed efficace possibile, non possiamo mai separare la descrizione della natura dai limiti che abbiamo nel poterla osservare. Pertanto la descrizione corretta del processo di carica del condensatore è l’unione della formula che descrive l’andamento della carica nel tempo, che si trova applicando la matematica all’analisi dei circuiti (che sia quella classica o quella quantistica), con le considerazioni che emergono dalle caratteristiche degli strumenti di misura (e dell’indeterminazione intrinseca della natura se ci poniamo in ambito quantistico). Anche se le due cose sono separabili dialetticamente non lo sono concettualmente in ambito scientifico. Pertanto la descrizione sperimentale di tale processo afferma, senza ambiguità, che il condensatore si carica completamente dopo un tempo finito.