Prima di scendere nel dettaglio del significato dell’esponente 2 con cui compare la distanza nella legge di gravitazione universale è opportuno chiarire la distinzione tra i diversi tipi di costanti che possono comparire nelle leggi fisiche.
Nella stragrande maggioranza dei casi le costanti fisiche propriamente dette, quelle che solitamente vengono espresse mediante dei simboli letterali al pari delle grandezze variabili, rappresentano semplicemente dei coefficienti di proporzionalità tra espressioni che coinvolgono grandezze fisiche differenti, oppure misurano l’intensità di un dato fenomeno in termini assoluti (ad esempio la costante di struttura fine, che misura l’intensità dell’interazione elettromagnetica). Proprio per la loro origine naturale possiamo facilmente pensare che, in linea del tutto teorica, ogni costante naturale possa assumere un qualunque valore numerico (e, se la teoria che vede l’universo resettarsi ad ogni big cruch e successivo big bang è vera, potrebbero essere esistiti in "passato" ed esistere in "futuro" universi con leggi che hanno la stessa forma matematica di quelle "nostre" ma costanti naturali con valori diversi) e quindi, per motivi puramente probabilistici, è molto difficile che una costante abbia esattamente un valore intero. Questo può accadere solo se il valore di una certa costante è determinato da condizioni molto speciali e simmetriche come nel caso degli esponenti.
Gli esponenti con cui le grandezze fisiche compaiono in una legge sono quasi sempre legati a proprietà geometriche dello spazio e/o del sistema in esame. Per tale motivo il loro valore non dipende da motivi "fisici" ma quasi sempre "matematici", o meglio "geometrici", e viene solitamente espresso direttamente nella formula senza usare simboli. C’è qualche eccezione a quanto appena detto ma in genere si usano esponenti letterali quando anche l’esponente è variabile. Un esempio di questo tipo è l’esponente del volume nell’equazione che descrive una trasformazione adiabatica di un gas perfetto. Notare che però anche in questo caso il valore di tale esponente è legato alla forma geometrica delle molecole del gas.
Le formule geometriche si presentano in genere sempre a gruppi di formule che sono mutualmente inverse, ciascuna rispetto ad una determinata variabile (ad esempio la formula dell’area di un cilindro, che si calcola mediante raggio di base e altezza, può essere invertita in modo da avere la formula dell’altezza in funzione dell’area e del raggio o la formula del raggio in funzione dell’area e dell’altezza). Trane casi particolarissimi in questi gruppi c’è sempre almeno una formula che contiene tutti esponenti interi e in ogni caso le sue inverse presentano al massimo esponenti che sono frazioni semplici.
Scendendo nel particolare, la legge dell’inverso del quadrato della distanza che regola la forza di gravità (e anche la forza elettrostatica) tra oggetti a simmetria sferica dipende dal fatto che lo spazio fisico ha tre dimensioni.
Oggi sappiamo che la propagazione di queste due forze nello spazio assomiglia a quella di un’onda o di un gas in un recipiente a partire da una sorgente puntiforme. Se le caratteristiche della sorgente di un’onda non cambiano nel tempo allora l’energia che l’onda trasporta deve essere la stessa a qualunque distanza dalla sorgente, solo che si trova man mano distribuita su una superficie maggiore. Analogamente se la sorgente che riversa un gas in un recipiente emette sempre la stessa portata (cioè la stessa quantità di gas ogni secondo), allora la quantità di gas presente a varie distanze dalla sorgente deve essere sempre la stessa, ancora una volta distribuita su una superficie sempre maggiore man mano che ci allontaniamo dalla sorgente (per questo gli odori, che sono dovuti a gas, si accentuano quando ci avviciniamo all’oggetto odoroso).
Se l’intensità totale dell’onda, o la quantità di gas, che si trova ad una certa distanza è uguale a quella che si trova a qualunque altra distanza, allora la densità di energia (o la densità di gas) diminuisce all’aumentare della distanza dal punto di emissione. Infatti queste densità sono calcolate mediante il rapporto tra la potenza (o la portata) emessa dalla sorgente e l’area su cui questa potenza è distribuita. Abbiamo quindi una frazione con numeratore costante e denominatore che dipende dal quadrato della distanza perché, in uno spazio a tre dimensioni, l’area di una sfera è proporzionale al quadrato del suo raggio.
Comunque sono in corso alcune ricerche (ad esempio qui) per verificare se effettivamente la gravità segua la legge dell’inverso del quadrato (anche se sempre con esponenti interi) a qualunque distanza.