Per risolvere questo problema è sufficiente tenere presente due cose:
1) la legge di HOOKE, che stabilisce che, per deformazioni non troppo intense, la forza con cui una molla reagisce ad un allungamento L è direttamente proporzionale all’allungamento e ad esso opposta (Fel=-kL, k è detta costante elastica della molla e dipende dal materiale di cui è composta la molla, la sua lunghezza e il raggio delle sue spire);
2) un corpo è in equilibrio quando la somma delle forze agenti su di esso è nulla.
Possiamo ora analizzare il sistema in esame. Indichiamo con M0 la massa di sabbia (incognita) inizialmente presente sul piattello, con L0 l’allungamento iniziale di 15cm=0.15m, g sarà l’accelerazione di gravità e k la costante elastica (incognita) della molla. La condizione di equilibrio è quindi
M0g-kL0=0
Dopodiché sul piattello viene versata un’ulteriore quantità di sabbia pari a dM=20g=0.02kg, provocando un ulteriore allungamento pari a dL=10cm=0.1m. La nuova condizione di equilibrio è
(M0+dM)g-k(L0+dL)=0
Le due condizioni di equilibrio costituiscono un sistema di due equazioni nelle due incognite M0 e k. Risolvendo tale sistema e sostituendo i dati numerici ai simboli corrispondenti si ha M0=0.03kg=30g e k=1.96N/m.
In maniera un po’ meno elegante dal punto di vista dell’analisi fisica si può anche risolvere il problema in due passi considerando che la legge di HOOKE è lineare quindi può essere applicata anche solo agli incrementi di forza esterna e di allungamento, per cui k può essere ricavata dal rapporto tra dMg e dL. A questo punto M0 sarà dato da rapporto tra kL0 e g.
Per rispondere all’ultimo quesito della domanda è sufficiente considerare una nuova condizione di equilibrio
M1g-kL1=0
dove adesso L1 è l’allungamento di 30cm=0.3m e M1 è la massa incognita che lo ha provocato. Risolvendo questa equazione otteniamo M1=0.06kg=60g. Alternativamente si può notare che l’allungamento dell’ultimo quesito è il doppio dell’allungamento iniziale, quindi la massa corrispondente deve essere il doppio di quella iniziale.