Un piattello è appeso ad una molla. Versando della sabbia nel piattello la molla si allunga di 15 cm. Aggiungendo un peso di 20 grammi la molla si allunga di altri 10 cm. Qual è la costante elastica della molla? Quanta sabbia è stata versata nel piattello? Quanta sabbia occorrerebbe versare per far allungare la molla di 30 cm?

Per risolvere questo problema è sufficiente tenere presente due cose:

1) la legge di HOOKE, che stabilisce che, per deformazioni non troppo intense, la forza con cui una molla reagisce ad un allungamento L è direttamente proporzionale all’allungamento e ad esso opposta (Fel=-kL, k è detta costante elastica della molla e dipende dal materiale di cui è composta la molla, la sua lunghezza e il raggio delle sue spire);

2) un corpo è in equilibrio quando la somma delle forze agenti su di esso è nulla.

Possiamo ora analizzare il sistema in esame. Indichiamo con M0 la massa di sabbia (incognita) inizialmente presente sul piattello, con L0 l’allungamento iniziale di 15cm=0.15m, g sarà l’accelerazione di gravità e k la costante elastica (incognita) della molla. La condizione di equilibrio è quindi

M0g-kL0=0

Dopodiché sul piattello viene versata un’ulteriore quantità di sabbia pari a dM=20g=0.02kg, provocando un ulteriore allungamento pari a dL=10cm=0.1m. La nuova condizione di equilibrio è

(M0+dM)g-k(L0+dL)=0

Le due condizioni di equilibrio costituiscono un sistema di due equazioni nelle due incognite M0 e k. Risolvendo tale sistema e sostituendo i dati numerici ai simboli corrispondenti si ha M0=0.03kg=30g e k=1.96N/m.

In maniera un po’ meno elegante dal punto di vista dell’analisi fisica si può anche risolvere il problema in due passi considerando che la legge di HOOKE è lineare quindi può essere applicata anche solo agli incrementi di forza esterna e di allungamento, per cui k può essere ricavata dal rapporto tra dMg e dL. A questo punto M0 sarà dato da rapporto tra kL0 e g.

Per rispondere all’ultimo quesito della domanda è sufficiente considerare una nuova condizione di equilibrio

M1g-kL1=0

dove adesso L1 è l’allungamento di 30cm=0.3mM1 è la massa incognita che lo ha provocato. Risolvendo questa equazione otteniamo M1=0.06kg=60g. Alternativamente si può notare che l’allungamento dell’ultimo quesito è il doppio dell’allungamento iniziale, quindi la massa corrispondente deve essere il doppio di quella iniziale.