E’ vero che se un intero positivo n si può esprimere come somma di due quadrati allora anche 2n si può esprimere come somma di due quadrati e, viceversa, se 2n si può esprimere come somma di due quadrati anche n si può esprimere allo stesso modo?

L’affermazione riportata nella domanda è vera ed è anche abbastanza facile da dimostrare.

Consideriamo un intero n che sia esprimibile mediante la somma dei quadrati degli interi a e b, senza perdere in generalità possiamo considerare a>b

n=a2+b2

Consideriamo quindi il suo doppio

2n=2a2+2b2

i due addendi che adesso compaiono al secondo membro non sono due quadrati perfetti perché per esserlo dovrebbe essere 2 un quadrato perfetto, ma essendo 2 un numero primo questo non è possibile. Tuttavia possiamo riscrivere questa uguaglianza nel modo seguente

2n=a2+b2+a2+b2

a questo punto è facile accorgersi che ciascuna coppia di addendi è la somma di due quadrati perfetti, per cui se riusciamo a far comparire dei doppi prodotti possiamo semplificare questa somma di quattro addendi come somma dei quadrati di due binomi. Ma questo è possibile farlo nel seguente modo

 2n=a2+b2+2ab+a2+b2_2ab

i due addendi aggiunti sono uguali ma con segno opposto, quindi la loro somma fa zero e quindi non abbiamo cambiato il valore del secondo membro dell’uguaglianza. Ora, con questo trucco possiamo riarrangiare sia il primo terzetto di addendi e sia il secondo come quadrati di binomi

2n=(a+b)2+(a_b)2

dato che a e b sono interi anche la loro somma e la loro differenza sono interi, quindi abbiamo scomposto 2n nella somma di due quadrati perfetti. Questa uguaglianza ci permette di affermare immediatamente che è vero anche l’inverso: se 2n è esprimibile come somma di due quadrati perfetti allora anche n lo è. Infatti detti x e y i due numeri tali che

2n=x2+y2

basta risolvere il sistema dato dalle equazioni

a+b=x

a_b=y

che porta alle soluzioni

a=(x+y)/2

b=(x_y)/2

per avere i numeri a e b necessari ad esprimere n come somma di quadrati. C’è da notare che queste due ultime formule restituiscono a e b interi solo se x e y sono entrambi pari o entrambi dispari. Tuttavia, dato che 2n è sicuramente pari allora una coppia di addendi che da 2n come somma dovrà essere per forza composta da x2 e y2 entrambi pari o entrambi dispari, di conseguenza saranno entrambi pari o entrambi dispari anche x e y (un quadrato perfetto pari non può avere radice quadrata dispari e viceversa un quadrato perfetto dispari non può avere radice quadrata pari).