In generale, la successione delle distanze dei pianeti dal Sole può essere approssimata attraverso una formula empirica del tipo:
dove b, c e d sono delle opportune costanti e n è un numero intero. Ad esempio, quando b=0,4, c=0,3, d=2 e n=-infinito, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 si ha la famosa “legge” di Titius-Bode (1766) (Nieto, 1970):
an = 0,4 + 0,3 · 2n (2)
La (2) fornisce la sequenza delle distanze planetarie in unità astronomiche (UA). Purtroppo, per Nettuno, Plutone e Eris l’errore è molto grande, ma questo non deve stupire. La relazione di Titius-Bode non è una legge fisica, ma una semplice relazione empirica formulata quando i pianeti noti del Sistema Solare si fermavano a Saturno e non era ancora nota l’esistenza degli asteroidi.
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Pianeta |
n |
Semiasse maggiore osservato (UA) |
Valore di Titius-Bode |
|
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|
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Mercurio |
-infinito |
0,39 |
0,4 |
|
Venere |
0 |
0,72 |
0,7 |
|
Terra |
1 |
1,00 |
1,0 |
|
Marte |
2 |
1,52 |
1,6 |
|
Cerere |
3 |
2,80 |
2,8 |
|
Giove |
4 |
5,20 |
5,2 |
|
Saturno |
5 |
9,54 |
10,0 |
|
Urano |
6 |
19,19 |
19,6 |
|
Nettuno |
7 |
30,07 |
38,8 |
|
Plutone |
8 |
39,46 |
77,2 |
|
Eris |
9 |
67,67 |
154,0 |
Tabella 1 – Le previsioni della “legge” di Titius-Bode confrontate con le vere distanze dei pianeti e pianeti nani del Sistema Solare. Ad iniziare da Nettuno, le previsioni sono in contrasto con quanto osservato.
Nella (1), quando b=0, c=1, d=1,53 e n=-2, -1, 0, 1, 2-3, 4, 5, 7, 8 si ha la “legge” delle distanze planetarie proposta da Armellini:
Qui manca il termine con n=6 e per la fascia degli asteroidi ci sono due numeri, 2 e 3. Leggi interpolanti simili a quella di Armellini si possono trovare per sistemi planetari di altre stelle, come ad esempio per quello della 55 Cancri, una stella doppia a 41 anni luce dalla Terra, di cui sono noti già 5 pianeti. In questo caso b=0, c=0,0142, d=e0,9975 e n=1, 2, 3, 4, 6 (Poveda, Lara, 2008):
an = 0,0142 · e 0,9975 n (4)
Nella (4) e=2,71828… è la base dei logaritmi naturali. La (1) e le sue derivate sono tutte leggi empiriche e non sono giustificate teoricamente (non ancora almeno), dai processi noti di formazione planetaria. In generale, i valori che restituiscono possono essere in discreto accordo con quanto si osserva ma non sono mai esattamente gli stessi. Riguardo alla “legge” di Titius-Bode, non si può quindi parlare di formulazione teorica e non è consigliabile utilizzarla all’interno di software per la simulazione del Sistema Solare. Così facendo si introducono inevitabilmente degli errori. Per questo motivo è preferibile non ricorrere a relazioni empiriche delle distanze, di qualsiasi forma siano, ma inserire direttamente i valori realmente osservati.
Una formulazione più recente della (3) è stata proposta da S. F. Dermott nel 1968 ma è scritta considerando i periodi orbitali invece dei raggi orbitali (si può passare dai periodi alle distanze usando
Pn = P0 · An (5)
Nella (5) P0 e A sono delle costanti ricavabili dai periodi osservati. Questa “legge” è applicabile sia al sistema planetario sia ai sistemi di satelliti regolari di Giove, Saturno e Urano (vedi Tabella 2), ma i valori dei periodi non sono proprio identici a quelli osservati, di conseguenza la (5) ha scarsa utilità pratica.
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Sole |
Giove |
Saturno |
Urano |
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|
|
|
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P0 |
0,194 anni |
0,444 giorni |
0,462 giorni |
0,904 giorni |
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A |
2,449 |
2,0 |
1,41 |
1,73 |
|
n |
1 (Mercurio), 2 (Venere-Terra), 3 (Marte), 4 (Cerere), 5 (Giove), 6 (Saturno), 7 (Urano), 8 (Nettuno-Plutone) |
2 (Io), 3(Europa), 4 (Ganimede), 5 (Callisto) |
1 (Janus), 2 (Mimas), 3 (Enceladus), 4 (Tethys), 5 (Dione), 6 (Rhea), 10 (Titan) |
2 (Miranda), 3 (Ariel), 4 (Umbriel), 5 (Titania), 6 (Oberon) |
Tabella 2 – I valori della formula empirica di Dermott per il Sistema Solare e i sistemi di satelliti regolari di Giove, Saturno e Urano.
Bibliografia
Dermott S. F., Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 141, p.363 (1968).
Nieto M. M., Astronomy and Astrophysics, Vol. 8, p. 105 (1970)
Poveda A., Lara P., Revista Mexicana de Astronomía y Astrofísica Vol. 44, p. 243-246 (2008)