La domanda verte su due aspetti della meccanica
quantistica (m.q.) che esulano dalla nostra intuizione immediata:
1) Il concetto di operatore
2) Il concetto di spin
In m.q. le quantita’ osservabili vengono calcolate
applicando un operatore ad una funzione d’onda. Ad esempio,
per calcolare il momento angolare di una data particella, bisognera’ applicare
l’operatore momento angolare (L) alla funzione d’onda associata
alla particella in quel particolare stato y.
L y
Per essere piu’ precisi, l’operatore momento
angolare rappresenta l’azione di misurare il momento angolare della particella.
I possibili valori si ottengono risolvendo la cosiddetta equazione agli
autovalori:
L y = l y
dove questa volta L e’ l’operatore, ma
l e’ il risultato della misura: un numero.
In generale questa equazione ha come risultato
diversi valori di l e y, che corrispondono
a tutti i possibili valori di momento angolare che possiamo trovare dopo
aver effettuato la misura (che vengono detti autovalori di momento
angolare), e a tutti i possibili stati in cui la particella si puo’ trovare
dopo la misura (che vengono detti autostati di momento angolare).
Supponiamo ora di avere una particella in uno
stato che e’ autostato di momento angolare con autovalore l=2. Effettuando la
misura otteniamo
L y = 2 y
ed effettivamente troviamo come risultato 2 per il
valore di momento angolare.
Immaginiamo invece che la nostra particella non
sia in autostato di momento angolare. Si puo’ dimostrare che qualsiasi stato
puo’ essere scritto come combinazione lineare (ovvero in forma ax+by+cz …) di
autostati di momento angolare.
Allora si avra’ :
L y =
L (
a y1 +
b y2
+ b y3
)
Se pensiamo che y1 sia l’autostato di momento
angolare associato all’autovalore 1, y2 sia l’autostato associato all’auotvalore
2 etc… allora il risultato della nostra misura di momento angolare sara’
con probabilita’ a , l = 1
con probabilita’ b , l = 2
con probabilita’ c , l = 3
In questa trattazione abbiamo omesso volutamente
alcuni dettagli tecnici, per semplificare.
Si e’ cercato fin qui di rispondere alla prima
parte della domanda: in breve, il momento angolare ha senso anche quando
si rappresenta la particella in forma di onda , in quanto la misura e’
rappresentata dall’applicazione dell’operatore momento angolare.
Veniamo allo spin.
Lo spin di una particella non e’ infatti il
suo momento angolare, ma puo’ essere visto come un suo “momento angolare
intrinseco”. Per spiegare perche’ ricorriamo all’esperimento che storicamente
ha dimostrato l’esistenza dello spin dell’elettrone, l’esperimento di
Stern e Gerlach del 1924.
L’apparato sperimentale e’ descritto in figura
1: un fascio di atomi di idrogeno (un protone ed un elettrone) nello stato
fondamentale (e quindi con momento angolare nullo) attraversa un campo
magnetico non uniforme ed incontra uno schermo fluorescente. Il campo
magnetico e’ costruito in modo da aumentare dal basso verso l’alto (o
viceversa).
Figura 1: schema semplicato
dell’esperimento di Stern e Gerlach
Il fascio di elettroni, attraversando il campo, si
divide in due.
Un campo magnetico esercita una forza su una
particella solo se questa e’ dotata di momento magnetico.
F = m× grad B
Dove grad B e’ la variazione nello spazio
del campo magentico e m il
momento magnetico.
Ma l’espressione del momento magnetico e’:
dove e e’
la carica dell’elettrone, me la sua massa, L il momento
angolare (inteso come valore, non come operatore) e gs una costante
detta rapporto giromagnetico.
Nel setup in esame, gli atomi non hanno alcun
momento angolare esplicito, perche’ le abbiamo scelte nello stato
fondamentale.
Dunque l’elettrone deve essere dotato di un
momento angolare intrinseco, lo spin, e inoltre, visto che il fascio di divide
in due, puo’ avere solo due orientazioni rispetto alla direzione del moto :
verso l’alto o verso il basso.
Alcuni lo immaginano come dovuto alla rotazione
sul proprio asse, ma l’interpretazione e’ troppo “materialistica” (nessuno
e’ ancora riuscito a dimostrare che la dimensione dell’elettrone non e’
nulla !).
Come osservazione aggiungo quanto segue. Nella
trattazione non relativistica della meccanica quantistica il termine “di
spin” viene aggiunto “ad hoc”. Nella trattazione relativistica questo
compare automaticamente, come conseguenza, in un certo senso, del fatto
che le equazioni del moto (in questo caso equazioni di Dirac) vengono
scritte in quattro dimensioni.
Questo, tra l’altro, rende la teoria
(l’elettrodinamica quantistica) particolarmente elegante.
Bibliografia :
Divulgazione: non e’ facile trovare spiegato il
momento angolare quantistico in testi divulgativi. Sulla m.q. in generale, si
puo’ leggere, tra l’altro:
Leon Ledermann, La Particella di Dio,
Mondadori
Nick Herbert, La realta’ dei quanti
A livello universitario:
Sakurai , Meccanica Quantistica, Zanichelli
Alonso-Finn, Fundamental University Physics, Vol
3, Addison Wesley