Innanzitutto complimenti per il sito. Mi chiedevo se si è a conoscenza di tutti i passaggi matematici e teorici che portano alla formulazione dell’equazione di schroedinger, un pò come si fa con le dimostrazioni matematiche, ed eventualmente sapere dove posso trovare il materiale necessario. Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.

Chiaramente è nota la derivazione dell’equazione di Schrödinger, in tutti i passaggi: a differenza delle derivazioni “puramente matematiche”, comunque, questa richiede una certa applicazione di “intuizione fisica”; non si creda per questo che non sia una derivazione rigorosa, o che sia un “tirare ad indovinare”: si tratta invece di utilizzare un tipo di ragionamento induttivo, contrariamente a quanto usualmente avviene nella maggior parte delle dimostrazioni matematiche.

Nella trattazione divulgativa che segue prenderò alcune licenze, prima di tutto storiche, presentando “il ragionamento finale”, senza andare a scandagliare i dettagli della sua evoluzione “storica”, e poi ovviamente dovrò essere necessariamente molto sintetico.

L’argomentazione di Schrödinger parte dal considerare un sistema meccanico (hamiltoniano): è noto che a ogni traiettoria di questo sistema che si svolga in un certo intervallo di tempo può essere associato un numero, che è la cosiddetta azione relativa a quella traiettoria. Si ha così una “funzione” (tecnicamente si parla di funzionale) definita sullo spazio delle traiettorie possibili, che vadano da una posizione iniziale <img decoding=” /> ad un tempo <img decoding=” /> fino ad una posizione finale <img decoding=” /> ad un tempo <img loading=” />. Si dimostra in meccanica classica che le traiettorie che sono soluzioni delle equazioni del moto sono quelle per cui questo funzionale è minimo: questo è il cosiddetto principio di minima azione; è noto che dal punto di vista formale questa formulazione della meccanica è uguale alla formulazione della propagazione di raggi di luce (quindi in ottica geometrica) entro un mezzo non omogeneo: in questo ambito il principio di minima azione diviene il noto principio di Fermat di ottica.
A quei tempi era già molto noto il fatto che l’ottica geometrica non funzionava quando le dimensioni dei corpi che la luce investiva erano paragonabili alla lunghezza d’onda; infatti era già stata scoperta e studiata l’ottica ondulatoria. Negli anni ’20 del XX secolo era già noto per via sperimentale che la meccanica classica non era applicabile in certe situazioni fisiche in cui le dimensioni degli oggetti studiati erano molto piccole. L’idea di Schrödinger è allora di applicare lo stesso tipo di generalizzazione che viene applicato per passare dall’ottica geometrica a quella ondulatoria. È qui che l’argomento di Schrödinger diventa induttivo, non adatto ad una deduzione “da principi primi”. Questa alternanza talvolta costituisce una delle differenze tra il modo tipico di ragionare dei matematici e quello dei fisici.
Nel parallelo tra meccanica e ottica, l’azione ha il ruolo che in ottica ha la fase dell’onda luminosa. Per essere precisi, l’azione considerata come funzione del punto finale della traiettoria. Per completare l’analogia, Schrödinger scrisse a questo punto una funzione d’onda, la cui fase fosse l’azione. Dalla meccanica classica sapeva anche quale fosse la velocità di fase dell’onda stessa, con la quale è possibile (in ottica) scrivere l’equazione dell’onda luminosa (equazione di d’Alembert). Con questi dati, e usando il fatto che l’azione, come funzione del punto finale della traiettoria rispetta l’equazione di Hamilton-Jacobi, Schrödinger fu in grado di scrivere l’equazione che porta il suo nome. Contestualmente, mentre trovava una profonda generalizzazione della meccanica classica, Schrödinger chiarì anche molto esplicitamente quale era il ruolo della meccanica classica stessa in questa “nuova meccanica”: il “centro di massa” di un pacchetto d’onda (una onda localizzata nello spazio “che si muove tutta insieme”), infatti, si muove secondo le leggi della meccanica classica, e se le traiettorie del moto hanno dimensioni (e raggi di curvatura) “abbastanza grandi”, la descrizione del moto del centro di massa del pacchetto è sufficiente. È anche possibile stimare se, per un sistema di dimensioni atomiche o molecolari, questa condizione sulle dimensioni sia soddisfatta, e la risposta è ovviamente no. La previsione, tramite l’equazione che aveva appena formulato, delle osservazioni di fisica atomica, segnarono il successo (e l’atto di nascita) della meccanica quantistica.

Ulteriori riferimenti non sono affatto facili da suggerire. La stragrande maggioranza dei libri moderni non fa che un tiepido cenno ai lavori originali di Schrödinger, e preferiscono dare una visione più moderna della questione. Questo deve essere anche dovuto al fatto che, mentre ai tempi di Schrödinger, l’ottica geometrica, nella sua relazione con la meccanica hamiltoniana, e l’ottica ondulatoria erano conosciute molto bene dai fisici, nei tempi moderni queste affascinanti branche della fisica vengono relegate (nella preparazione curricolare accademica) in corsi complementari, o magari in dei sottocorsi nei quali si ha appena il tempo di fare un po’ di chiarezza su pochi concetti base. Nella mia opinione, però, così si perde dal punto di vista didattico, e non è un caso che spesso alcuni fisici non hanno le idee completamente chiare sulla meccanica quantistica come teoria fisica.

Per i lettori interessati (e preparati abbastanza da poter seguire la lettura) non posso che indirizzare agli articoli di Schrödinger del periodo, in particolare a “An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules”, The Physical Review, Vol.28, No.6, Dicembre 1926, pagg.1049-1070. L’articolo in sé è autosufficiente, ma riporta anche riferimenti bibliografici a lavori precedenti. Anche per uno studente che conosca la meccanica quantistica può essere una lettura impegnativa, ma potrebbe essere molto remunerativo fare questo studio, sia per chiarire molte idee circa la meccanica quantistica, sia per apprezzare una delle grandi menti che questa teoria l’ha fatta (e magari stuzzicare chi lo desideri ad approfondire anche lavori successivi di Schrödinger, che dopo aver contribuito a fondare la meccanica quantistica, si dedicò alla biologia, per cercare di capire il senso della vita, e della mente).