E’ possibile calcolare quanta energia ha perso la radiazione cosmica di fondo dalla sua origine ad oggi e quanta energia occorre per accelerare l’espansione dell’Universo? Grazie

La cosmologia contemporanea interpreta il fondo cosmico nelle microonde come il residuo fossile della radiazione emergente dalla rottura dell’equilibrio termodinamico con il plasma primordiale, verificatasi circa 400.000 anni dopo il big-bang all’epoca della formazione dell’idrogeno e dell’elio neutri. La data di nascita del fondo cosmico di radiazione coincide con l’avvento di questa fase fisica, poiché è solo dopo il disaccoppiamento con la materia che i fotoni di origine cosmologica iniziarono a propagarsi liberamente nell’Universo.
Dalla sua lontana origine sino ai nostri giorni la radiazione di fondo ha continuato incessantemente a diffondersi, rarefacendosi e raffreddandosi per via dell’espansione universale, la quale ha causato un duplice effetto: da un lato, poiché il numero dei fotoni è conservato, si è prodotta una diluizione crescente dell’energia contenuta nell’unità di volume (in ragione dell’inverso del cubo del fattore di scala dell’espansione); dall’altro lato, si è verificato un incremento della lunghezza d’onda di ogni singolo fotone. E’ quest’ultimo effetto a causare la diminuzione netta di energia cui si accenna nella prima parte della domanda, poiché, come si deduce immediatamente dalle relazioni di Planck
E = hν = hc/λ  (dove “ν” indica la frequenza, “λ” la lunghezza d’onda e c la velocità della luce nel vuoto),

l’energia di un fotone è inversamente proporzionale alla lunghezza d’onda.

Per stimare quantitativamente l’entità della perdita di energia subita dalla radiazione di fondo dai suoi albori sino ad oggi, conviene fissare un volume arbitrario, poniamo un cubo di lato uguale a un anno-luce, e valutarne il contenuto di energia elettromagnetica al tempo presente e al tempo della “ricombinazione” (d’ora in avanti indicheremo con i pedici “o” e “r” le quantità fisiche considerate rispettivamente al presente e all’epoca della ricombinazione).

La densità di energia, in unità cgs, di un corpo nero alla temperatura assoluta T è

u(T) = 7,565*10-15 *T4 erg/cm3 (1) ,

che introducendo l’attuale valore della temperatura della radiazione di fondo (To = 2,73 K) fornisce  

uo = 4,20*10-13 erg/cm3 (2).

Moltiplicando la (2) per il volume Vo = 8,47*1053 cm3, si ottiene la quantità complessiva di energia del fondo cosmico a microonde contenuta al presente in un cubo di 1 anno-luce di lato:

Uo = uo*Vo = 3,56*1041 erg (3) ,

corrispondente grosso modo all’energia irradiata dal Sole in tre anni.

L’energia che era contenuta nel cubo unitario fissato o, più esattamente, nel suo omologo opportunamente riscalato all’epoca della ricombinazione per compensare l’effetto di diluizione dovuto all’espansione cosmica, si ottiene dalla relazione fondamentale che lega redshift z e fattore di scala a(t) in un Universo in espansione:

a(t) = 1/(1 + z) (4)                      (avendo normalizzato ad 1 il fattore di scala al presente: a(to) = 1)

e dalle espressioni che collegano queste due grandezze con la temperatura della radiazione di fondo e con il volume del cubo unitario:

T(t) = To/a(t) = To*(1 + z) (5)

V(t) = Vo*a(t)3 = Vo/(1 + z)3 (6).

 
Dal momento che il redshift corrispondente all’epoca della ricombinazione è all’incirca zr ≈ 1100, segue dalle relazioni (5) e (6) che la temperatura della radiazione di fondo a quell’epoca dovesse essere grosso modo 1100 volte più grande di quella attuale e il lato e il volume del cubo rispettivamente 1100 e (1100)3 volte più piccoli delle loro presenti dimensioni.

Utilizzando le relazioni (1), (3), (5) e (6), possiamo scrivere la seguente catena di uguaglianze:

Ur = urVr = uo(1 + zr)4*[Vo/(1 + zr)3] = uoVo(1 + zr) = Uo(1 + zr) = 1100*Uo = 3,91*1044 erg (7) ,

che mostra come l’energia attualmente contenuta nella radiazione di fondo sia appena 1/1100 di quella presente all’epoca della ricombinazione.

La seconda parte della domanda riguarda invece la cosiddetta “energia oscura”, che in base al modello standard della cosmologia contemporanea, costituisce circa il 70% della densità totale di energia dell’Universo ovvero, in termini assoluti:

ρΛ ≈ 5,79*10-9 erg/cm3 (8) ,

avendo assunto per la costante di Hubble al presente il valore Ho = 70 km/s*Mpc .
Nell’interpretazione standard l’energia oscura, di cui si ignora tuttora l’origine e la reale natura fisica, è ritenuta essere formalmente equivalente al termine cosmologico, che compare nelle equazioni di campo modificate della Relatività Generale elaborate da Albert Einstein. In accordo a questo punto di vista la densità di energia oscura viene ipotizzata essere costante in ogni epoca, a differenza di tutti gli altri termini che contribuiscono alla densità energetica complessiva dell’Universo.

La costanza di ρΛ nel tempo consente di calcolare immediatamente la quantità “aggiuntiva” di energia, che si “forma” nello spazio durante l’espansione cosmologica.

Considerato al tempo presente to il consueto volume unitario Vo esso dovrebbe contenere un ammontare di energia oscura pari a

Uo = ρΛ*Vo = 4,90*1045 erg (9) ,

oltre diecimila volte superiore all’energia contenuta nella radiazione di fondo.

Al procedere dell’espansione universale qualsiasi volume di spazio inizialmente dato incrementerà le proprie dimensioni iniziali in base alla relazione (6), in modo che al tempo t1 > to risulterà

V(t1) = Vo*a(t1)3 .

La variazione rispetto al volume iniziale sarà quindi data da

ΔV = V(t1) – Vo = Vo[a(t1)3 – 1]

cui deve corrispondere la formazione di un quantitativo esattamente proporzionale di energia oscura

ΔU = U(t1) – Uo = ρΛ*ΔV = ρΛ*Vo[a(t1)3 – 1] .

 
Una maniera alternativa e particolarmente istruttiva di trattare la questione posta nella domanda è quella di applicare separatamente il primo principio della termodinamica alle diverse componenti energetiche contenute in un volume di spazio arbitrario, ma sufficientemente grande, in espansione solidale con l’Universo.

Nell’ipotesi, assolutamente ragionevole nel caso di grandi volumi, di adiabaticità dell’espansione cosmologica (dQ = 0) otteniamo dal primo principio della termodinamica:

dU = dQ – dL = – P*dV = – P*3Vo*(a(t)2)*da(t) (10)

dove l’ultima uguaglianza si ottiene differenziando la relazione (6).

Per conoscere come varia l’energia associata a ciascuna delle componenti materiali dell’Universo tra due istanti arbitrari to e t1 (t1 > to), basta inserire nella (10) le espressioni esplicite per P ricavabili dalle corrispondenti equazioni di stato:

P = 0 (materia non relativistica)

P = ρrad (t)/3 = ρrad(to)/(3*a(t)4) (radiazione elettromagnetica)

P = – ρΛ (energia oscura) ,

da cui si ottengono, dopo semplici passaggi algebrici, le seguenti uguaglianze

U1 = Uo (materia non relativistica)

U1 = Uo/a1 (radiazione elettromagnetica)

U1 = Uo*a(t)3 (energia oscura).

Dalle relazioni precedenti discende chiaramente come in ambito cosmologico l’energia non sia sempre conservata al procedere dell’espansione dell’Universo: essa si conserva unicamente nel caso della materia non relativistica, mentre non si conserva sia nel caso della radiazione elettromagnetica, che tende a diminuire, sia nel caso dell’energia oscura, che al contrario tende ad aumentare.
Da notare infine la particolarità fisica dell’equazione di stato dell’energia oscura, che descrive un fluido caratterizzato da pressione negativa, il quale presenta la singolare proprietà, inaudita per gli usuali sistemi termodinamici, di incrementare la propria energia interna nel corso di un’espansione adiabatica.