L’equazione di Schroendiger è l’equazione fondamentale della Meccanica Quantistica Ondulatoria, in cui l’oggetto fondamentale della descrizione meccanica di un sistema fisica è la funzione d’onda ψ, una funzione a valore complessi la cui evoluzione nel tempo è determinata appunto dall’equazione differenziale
dove Δ è l’operatore laplaciano (somma delle derivate seconde pure rispetto alle tre coordinate cartesiane) e V è l’energia potenziale in cui avviene la dinamica della particella. Nel caso in cui V sia indipendente dal tempo allora il sistema possiederà degli stati u ad energia fissata E, che possono essere calcolati con l’equazione stazionaria
Questa equazione, e la teoria meccanica relativa, sono importantissime sia dal punto di vista storico, perchè è stato il primo esempio di teoria quantistica ad incomporare in maniera coerente il principio di indeterminazione e contemporaneamente a fornire un collegamento immediato ed intuitivo con la Meccanica Classica tramite le famose regole di quantizzazione che permettono di ricavare la descrizione quantistica di un qualunque sistema fisico di cui si conosca già la descrizione classica, sia dal punto di vista pratico, tuttora è utilizzatissima in tantissimi ambiti applicativi, soprattutto di chimica-fisica.
Tuttavia questa teoria presenta tre difetti.
Innanzitutto non descrive tutti i fenomeni quantistici conosciuti, ad esempio la possibilità di trasformazioni tra particelle così come è prevedibile ragionando in termini sia quantistici e relativistici, e le successive modifiche di questa equazione in modo da renderla coerente con la teoria della Relatività Ristretta (equazione di Klein-Gordon per i bosoni ed equazione di Dirac per i fermioni) non hanno risolto in realtà il problema. Questi fenomeni possono essere analizzati solo passando alla Teoria Quantistica dei Campi perchè la Meccanica Ondulatoria presuppone, anche se in maniera implicita, che le particelle non possano mai cambiare di numero e di proprietà, per cui non può essere in grado di descrivere queste trasformazioni. Solo considerando le particelle come manifestazioni di un oggetto più fondamentale che è il campo si può riuscire a dare conto delle loro trasformazioni.
Poi non spiega come sia possibile che un sistema inizialmente non in uno stato stazionario evolva verso uno stato stazionario (cosa che deve accadere visto che in natura la maggior parte dei sistemi fisici si trova in uno stato stazionario e inoltre questa evoluzione è osservata anche sperimentalmente per esempio nella formazione delle molecole o durante il raffreddamento dei plasmi) e soprattutto verso uno stato stazionario che corrisponde ad uno stato ad energia fissata di valore minimo. Anche in questo caso è il ricorso alla Teoria dei Campi che risolve il problema perchè queste evoluzioni richiedono scambi di energia con qualche sorgente esterna (in particolare cessione di energia quando un sistema evole verso lo stato fondamentale) per cui è necessario, ancora una volta, tenere conto della possiiblità di creare ulteriori particelle che “servono” al sistema per scambiare energia con l’esterno, per esempio fotoni.
Infine l’equazione di Schroendiger deve essere sempre scritta a partire dalla descrizione classica della dinamica della particella o del sistema fisico, questo vuol dire che l’energia potenziale V da inserire nell’equazione è una funzione ben determinata, invariante nel tempo o con una variazione temporale deterministica. Nei casi in cui la Meccanica Quantistica ha peso rilevante questa energia potenziale è determinata dalla posizione di altre particelle, per esempio il nucleo di un atomo o la posizione degli ioni in un reticolo metallico.
Ma, come fa notare la domanda, anche per queste particelle dovrebbe valere il Principio di Indeterminazione, per cui queste posizioni non potrebbero essere note neanche in linea di principio con la precisione necessaria a scrivere una funzione energia potenziale completamente deterministica. L’obiezione è corretta e infatti, in linea di principio, per un qualunque sistema bisognerebbe scrivere un’equazione che descriva contemporaneamente lo stato della particella in esame e di tutte le altre particelle che interagiscono con essa.
In qualche caso questo può essere fatto e l’equazione può essere risolta senza problemi, per esempio nel caso dell’atomo di idrogeno si può considerare l’equazione di Schroendiger per l’elettrone ed il protone insieme. In questo caso il termine di energia potenziale ha la stessa forma matematica che per l’atomo di idrogeno standard, ma non c’è più il problema concettuale di conoscere la posizione con precisione: ovunque siano l’elettrone ed il protone la loro energia potenziale di interazione è quella data dalla legge di Coulomb, a tenere conto dell’indeterminazione intrinseca ci “pensa” la descrizione data in termini di funzione d’onda complessa per entrambi i corpi. Con un semplice cambio di coordinate, passando al sistema di riferimento del centro di massa, l’equazione può essere separata in un’equazione che descrive il moto complessivo dell’atomo, che quindi sarà un moto libero, non soggetto a forze,
e un’equazione che descriva il moto interno dell’atomo, che sarà uguale in tutto e per tutto a quella che scriveremmo per un elettrone che gira intorno ad un protone fisso
con la differenza che la massa presente nell’equazione è la cosidetta Massa Ridotta data dalla formula
.
Nella maggior parte dei casi invece il problema non può essere risolto così elegantemente e ci si deve accontentare di considerare il potenziale generato in maniera classica all’interno della descrizione quantistica. Questo tuttavia non comporta errori molto grossi per il motivo che in generale, per gli elementi più comunemente studiati in questi termini, i nuclei o gli ioni atomici hanno una massa che va da circa 2000 volte (nel caso dell’atomo di idrogeno) a circa 200000 volte (nel caso dei metalli più pesanti) la massa di un elettrone. Questo significa che, mentre la disequazione di indeterminazione standard, quella che coinvolge posizione e quantità di moto,
è uguale per tutti i componenti del sistema, la relazione di inderminazione modificata per la posizione e la velocità,
presenta un fattore di indeterminazione minima per i nuclei atomici che è da 2000 a 200000 volte più piccolo di quello per gli elettroni. Da qui si capisce immediatamente che “violare” l’indeterminazione per questi oggetti e considerarli fermi, cioè con posizione e velocità determinate, non comporta un errore importante ai fini dei calcoli e quindi costituisce un’approssimazione accettabile.