La scoperta (o l’invenzione) dell’ Analisi Matematica è stata, con ogni probabilità, la più grande rivoluzione del pensiero scientifico umano; il calcolo infinitesimale, come sappiamo, permette di risolvere problemi molto difficili in modo relativamente semplice. Soprattutto, come citato nella stessa domanda, l’Analisi Matematica ha posto la parola fine a moltissimi problemi classici aperti da molti anni, quali i problemi di calcolo di aree o di volumi, o problemi fisici e meccanici.
Dopo un normale periodo di assorbimento del nuovo calcolo da parte dei matematici, l’Analisi Matematca è diventata lo standard risolutivo dei problemi della fisica e dell’ingegneria, ed ancora oggi lo rappresenta, a livelli molto ma molto più alti di quanto lo rappresentava nel 700 o nell’800. Dunque oggi non è che abbiamo un nuovo strumento; lo strumento in generale è sempre l’Analisi Matematica (che comunque si avvale anche di altre branche della Matematica, quali l’Algebra o la Geometria), ma a livelli di complessità sempre più elevati. Oggi l’Analisi Matematica ha tantissime branche, sottosettori, ecc… Di notevole interesse per le applicazioni è tutto il settore che si occupa dello studio delle Equazioni differenziali alle derivate parziali, studio molto complicato che si avvale di un fondamento teorico notevole, che è costituito dall’Analisi funzionale. Le e.d.p. costituiscono oggi i principali metodi con i quali vengono modellizzati problemi di applicazione della Matematica.
Altra branca di notevole interesse è il Calcolo delle variazioni, che studia problemi di minimo in generale, soprattutto riferiti a principi di origine fisica; ad esempio problemi di area minima, principi della minima azione (che stanno alla base della Meccanica “analitica”).
Questi sono solo un paio di esempi, si potrebbe continuare con un’infinità di sottocapitoli dell’Analisi Matematica moderna; anche un matematico attivo in ricerca specializzato in Analisi Matematica si deve occupare solo di un settore tra questi; ormai siamo arrivati a livelli troppo alti per riuscire a dominare e controllare settori diversi, contrariamente a quanto poteva succedere secoli fa. Questa non è mancanza di genialità nei matematici attuali, bensì esistenza di troppa Matematica di livello avanzato che costringe a delle scelte.