Come si calcola attraverso la seconda legge di Ohm, la resistenza elettrica di un disco di spessore trascurabile raggio R i cui contatti sono posti uno al centro del disco e uno sul bordo esterno supponendo che i punti del disco di raggio uguale siano equipotenziali Grazie Stefano

Il problema è posto in evidente simmetria circolare, quindi immagineremo il disco diviso in tante corone infinitesime concentriche in serie tra loro.

Chiamiamo ρ la resistività del materiale di cui è fatta la lamina e s il suo spessore (trascurabile per quanto riguarda la distribuzione delle correnti, ma non per il calcolo della resistenza da centro a circonferenza), diciamo poi R la resistenza e r il raggio generico.

Ogni corona circolare di spessore (radiale) infinitesimo avrà una resistenza pari alla resistività del materiale per lo spessore radiale infinitesimo divisa per la superficie laterale del cilindro:

1) dR = ρ dr / 2 π r s

Integrando la 1) da ri (raggio interno di una generica corona cicolare) a re (raggio esterno) otterremo:

2) R(ri , re) = (ρ / 2 π s) ln (re / ri)

Dove ln sta per logaritmo naturale. Facendo quindi tendere ri a zero, come richiesto in quanto il “centro del disco” è un punto matematico, si ottiene una resistenza infinita.

Il significato di questo risultato sta nel fatto che un contatto (centrale o no) e’ critico, nel senso che, variando anche di poco l’impronta della spazzola sul disco, data l’elevata densità di corrente, si ottengono variazioni molto grandi della resistenza totale. In altre parole, l’area di contatto NON può essere considerata puntiforme. Se invece il contatto è fatto, come si dovrebbe, con una spazzola di sezione circolare, possiamo considerare il raggio della spazzola stessa come ri, almeno come ordine di grandezza. Come spero si capisca, la criticità intrinseca del problema non consente di procedere oltre.

Se qualcuno restasse ancora un po’ scettico di fronte a questo risultato infinito, cercherò di convincerlo con un metodo che assomiglia a quello classicissimo di Zenone, mentre ne è l’esatto opposto:

Immaginiamo la resistenza (tra superficie cilindrica interna e quella esterna) di una corona circolare fatta della stessa lamina, ma con raggio esterno uguale a quello della lamina data e quello interna esattamente metà e chiamiamola R1.

Consideriamo ora la corona circolare ad essa simile, ma in essa inscritta. Essa avrà metà raggio esterno e metà raggio interno di quella precedente. La sua resistenza R2 sarà uguale a R1 in quanto la sezione è metà così come la differenza tra i raggi.

Ne consegue, iterando il procedimento che Rn sarà sempre uguale a R1 comunque grande facciamo n. E’ altresì evidente che le varie corone vadano considerate “in serie” tra loro e, di conseguenza, la resistenza totale sarà la somma delle singole resistenze. Facendo tendere n a infinito, la resistenza totale tenderà a infinito, mentre la somma delle infinite corone tenderà al cerchio completo.

Insomma un contatto puntiforme o comunque, nel mondo reale, piccolo o, per meglio dire, di area indeterminata è critico e può generare densità di corrente pericolose e cadute di tensione che è difficile prevedere.

Del resto, chiunque guardi le spazzole di un motore elettrico reale può facilmente vedere come esse siano disposte in modo da rendere la superficie di contatto più estesa possibile. Nella maggior parte dei casi (con collettori ben rettificati) l’usura è sufficiente a formare una superficie ben appoggiata. Dove la superficie dovesse essere particolarmente grande per le forti correnti in gioco, la singola spazzola viene frazionata in elementi multipli, ognuno sospinto dalla sua molla indipendente.