Il passaggio al limite è una operazione analitica effettuabile su funzioni, ma non è sempre possibile. Nel caso in cui il limite esista, spesso è anche unico, almeno negli spazi “buoni” come R o Rn. Per semplicità ci mettiamo in R (l’idea della dimostrazione in altri casi non cambia).
Richiamiamo anzitutto la definizione di limite:
Definizione: Sia f : (a,b) → R una funzione, e sia c ∈(a,b); si dice che f ha limite L per x che tende a c e si scrive
Supponiamo ora che esistano due limiti L1 ed L2 entrambi per f e per x che tende a c; allora si ha
1) per ogni ε>0 esiste δ1>0 tale che per ogni x ∈(a,b) con 0<|x-c|<δ1 si abbia |f(x)-L1|<ε;
2) per ogni ε>0 esiste δ2>0 tale che per ogni x ∈(a,b) con 0<|x-c|<δ2 si abbia |f(x)-L2|<ε.
Sia δ>0 il valore più piccolo tra δ1 e δ2; allora per ogni x ∈(a,b) con 0<|x-c|<δ si ha: