Il principio del massimo è una classe di Teoremi che rappresentano fondamentali confronti tra le soluzioni di equazioni alle derivate parziali e i rispettivi dati al contorno.
Vista la provenienza di studi dell’autore della domanda, non entrerò nell’enunciazione nell’ambito degli spazi di funzioni debolmente differenziabili, ma limiterò all’enunciazione classica per l’equazione di Laplace.
Principio del massimo per l’equazione di Laplace: Sia Ω un aperto limitato di Rn; sia u una soluzione classica (ovvero di classe C2(Ω)) dell’equazione di Laplace Δu=0, con u=f su ∂Ω, f continua. Allora si ha f ≥0 ⇒ u ≥0 su tutto Ω; inoltre vale:
sup {|u(x)| : x ∈Ω} ≤ sup {|f(x)| : x ∈∂Ω}.
Nel caso particolare f=0 si ha dunque, come conseguenza del principio del massimo, che u ≥0 e
sup {|u(x)| : x ∈Ω} ≤ 0
da cui u=0, che quindi è l’unica soluzione classica dell’equazione Δu=0 con dato al bordo f=0.
Le soluzioni dell’equazione Δu=0 sono dette funzioni armoniche, che nel caso uno-dimensionale sono funzioni lineari. Il principio del massimo è parecchio utile in vista di applicazioni nelle quali si richiede la limitatezza della soluzione, garantita dalla limitatezza del dato al bordo. La dimostrazione è fondamentalmente centrata sull’ellitticità dell’operatore in gioco, che è l’operatore di Laplace Δ.
Le soluzioni dell’equazione Δu=0 sono dette funzioni armoniche, che nel caso uno-dimensionale sono funzioni lineari. Il principio del massimo è parecchio utile in vista di applicazioni nelle quali si richiede la limitatezza della soluzione, garantita dalla limitatezza del dato al bordo. La dimostrazione è fondamentalmente centrata sull’ellitticità dell’operatore in gioco, che è l’operatore di Laplace Δ.