Molto spesso l’uso dei numeri complessi, anzichè l’uso di altri strumenti di “Analisi reale”, è più una cosa di comodo, che di altro tipo.
Nel caso in questione, un fasore è sostanzialmente, dal punto di vista matematico, una funzione del tipo
X cos(ωt+Φ)
e tale espressione viene identificata al numero complesso z di modulo X e argomento Φ, ovvero il numero complesso
z=XeiΦ.
Ovviamente l’utilizzo di un tale formalismo, che si dimentica della pulsazione ω, è adatto solo in tutti quei casi fisici concreti (circuiti elettrici, ecc..) nei quali tutte le grandezze elettriche siano della forma sinusoidale, e per di più della stessa pulsazione ω.
Lo scopo di tale formalismo è quello di semplificare le operazioni tra onde sinusoidali della stessa frequenza, osservando che si ha l’uguaglianza
Xcos(ωt+Φ)=Re[Xei(ωt+Φ)].
In modo particolare è interessante la derivata temporale di un fasore; infatti si ha
d/dt [ X cos(ωt+Φ) ]=-Xωsen(ωt+Φ)
da cui osserviamo quindi che per fare la derivata temporale di un fasore basta prendere il fasore completo in forma complessa Xei(ωt+Φ), moltiplicarlo per iω, e prenderne dunque la parte reale, ottenendo proprio -Xωsen(ωt+Φ).
Questa è la semplificazione maggiore che motiva l’uso del formalismo complesso in tale contesto: la derivazione temporale diventa un’operazione algebrica sulla forma complessa dei fasori, che è anche lo spirito di tutta la teoria della trasformate (Fourier, Laplace, ecc…).