Come si calcola il dominio di una funzione logaritmo contenente il valore assoluto?

La domanda non risulta ben chiara, in quanto non è ben chiaro che funzione si intenda.

In generale possiamo citare due esempi che dovrebbero chiarire la situazione: data una funzione f(x) reale di variabile reale consideriamo le funzioni

g(x)=log |f(x)| e h(x)=|log(f(x))|

dove i logaritmi, per semplicità di trattazione, sono in base e.
Per la funzione g il dominio è dato dall’insieme degli x nel dominio di f tali per cui |f(x)|>0, per definizione di dominio della funzione logaritmo. Ricordando che |x| ≥0 per ogni x e |x|=0 se e solo se x=0, si ha che il dominio della funzione g sarà dato da

D(g)={x ∈D(f) : f(x) ≠0}.

Passando invece alla funzione h, per essa la situazione è indipendente dalla presenza del valore assoluto; infatti il dominio di h discende solamente dalla definizione di dominio del logaritmo. Più precisamente si ha

D(h)={x ∈D(f) : f(x) >0}.

Esempi:
1) g(x)=log|x2-1|. Si ha f(x)=x2-1, per cui, essendo f definita su tutto R, si ha D(g)={x ∈R : x2-1 ≠0}={x ∈R : x≠1, x≠-1}.
2) h(x)=|log (x2-1)|. Si ha f(x)=x2-1, per cui, essendo f definita su tutto R, si ha D(g)={x ∈R : x2-1 >0}=(-∞,-1)u(1,+∞).