Non ho mai capito che cosa sono i tensori?Come posso “interpretarli”?Come si possono “vedere”?Sarei molto felice di capire finalmente che relazione esiste tra tensori controvarianti e covarianti,tra tensori e forme k-liniari,e tra tensori e matrici “nello spazio”.Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.

Il Calcolo tensoriale è stato ideato allo scopo di studiare relazioni invarianti rispetto ai sistemi di coordinate locali assegnati sopra una varietà differenziabile.

Più precisamente si parte dal raggruppare vettori di interesse su una varietà (come vettori tangenti o differenziali) in due categorie: vettori controvarianti e vettori covarianti. Un vettore vⁱ è detto controvariante se le sue componenti cambiano nel modo wⁱ=∂y_i/∂x_jv^j dove y sono le nuove coordinate (es: i differenziali). Un vettore v_i è detto invece covariante se al cambiare delle coordinate si ha w_i=∂x_j/∂y_iv_j (es: i vettori tangenti). Lo scopo del calcolo tensoriale è quello di studiare espressioni contenenti componenti controvarianti e covarianti che risultino invarianti rispetto alle coordinate scelte; ad esempio un’espressione della forma

T_i^j vⁱw_j =S_h^k u^hz_k

dove S, u e z sono rispettivamente T v e w rispetto alle nuove coordinate. Tale invarianza porta ad una relazione tra T_i^j e S_h^k che viene presa come definizione di tensore, in questo caso, 1-covariante e 1-controvariante:

S_h^k=T_i^j∂y_k/∂x_j ∂x_i/∂y_h.

Un tensore (1,1) è praticamente l’insieme dei coefficienti di una matrice; allo stesso modo si costruiscono tensori r-covarianti e s-controvarianti, con una legge di trasformazione più complessa ma fondamentalmente dello stesso tipo.