Come si fa a dimostrare che un insieme è misurabile?

Sia data una misura esterna μ, per esempio su Rn. Diciamo che un sottoinsieme E di Rn è μ-misurabile se “taglia bene” ovvero se per ogni sottoinsieme F di Rn si ha

μ(F)=μ(F ∩E)+μ(FE).

Sostanzialmente un insieme misurabile si ha quando si comporta come l’intuito suggerisce quando ne viene presa una parte.

In generale per provare la misurabilità si va con la definizione, non ci sono Teoremi di carattere generale. Comunque spesso la misurabilità è garantita dal contesto. Ad esempio se la misura è abbastanza buona, se E è aperto o chiuso allora è misurabile, quindi tantissimi insiemi sappiamo già essere misurabili. Va sottolineato che, nel caso in cui μ sia la misura di Lebesgue, è molto difficile costruire un esempio di insieme non misurabile; inoltre la costruzione di tale insieme equivale si fonda sull’assioma delle scelta, e per altro l’esistenza di un insieme non misurabile secondo Lebesgue equivale, di fatto, all’assioma della scelta.