Perché l’insieme delle successioni è un esempio di spazio vettoriale? Come si fa a dimostrare che la successione di Fibonacci è un sottospazio vettoriale delle successioni?

L’insieme delle successioni reali è uno spazio vettoriale reale, ed è abbastanza agevole da verificare. Infatti date due successioni (xn) e (yn) basta definire (xn+yn) come la successione di termine generale xn+yn; analogamente la successione a(xn) avrà termine generale axn, con a numero reale. E’ immediato verificare che tali definizioni di somma e prodotto esterno per scalare rendono l’insieme delle successioni reali uno spazio vettoriale. Questo discende dal fatto che R è uno spazio vettoriale.

Ci sono esempi notevoli di sottospazi dello spazio delle successioni reali. I più noti sono gli spazi lp; una successione xn sta in lp, con 1≤p<∞ se la serie di |xn|p converge. Esiste anche una definizione nel caso p=∞, ed è il caso delle successioni limitate.

La successione di Fibonacci è una successione reale definita per ricorsione: x0=x1=1, e xn+2=xn+1+xn. Quindi ad esempio x3=2, x4=3, ecc…

La successione di Fibonacci non è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale delle successioni; la successione di Fibonacci appartiene allo spazio vettoriale delle successioni, ovvero è un elemento dello spazio stesso.