La differenza tra una derivata
dell’Analisi 1 e la derivata di Radon-Nikodym è sostanziale.
Anzitutto la derivata ordinaria si applica a funzioni reali di una
variabile reale, e viene definita classicamente come limite del
rapporto incrementale; la derivata di Radon-Nikodym invece è
una funzione sommabile che esprime la densità di una misura
rispetto ad un’altra misura fissata. Sono quindi due concetti
profondamenti diversi che si applicano in due contesti del tutto
diversi; la derivata ordinaria è lo strumento principale del
calcolo differenziale, mentre la derivata di Radon-Nikodym è
la tesi del più importante Teorema di Teoria Geometrica della
Misura, il Teorema di derivazione di una misura, Teorema di
Besikovitch.
Vediamo nel dettaglio cosa dice il
Teorema:
derivazione di Besikovitch: Sia
u una misura di Radon positiva su un insieme A aperto di Rn, e sia v
una misura reale (o anche vettoriale) di Radon; allora per quasi
ogni x nel supporto di u esiste il limite
ed
f viene detta derivata di Radon-Nikodym di
v rispetto ad u.
Lo scopo della derivazione di una misura rispetto ad un’altra è
quello di poter scrivere, a norma del Teorema precedente
v=fu+vs
dove vs rappresenta una misura di Radon singolare rispetto a
v. In modo particolare la scrittura v=fu rappresenta la
scrittura, per ogni E sottoinsieme misurabile di A,
Tale scrittura motiva anche il nome “derivata” di Radon-Nikodym,
dal momento che formalmente la precedente può essere scritta
anche come
