La Geometria affine è il primo stadio della Geometria propriamente detta; la Geometria affine è sostanzialmente ancora algebra lineare, ma “letta” con linguaggio geometrico. In effetti l’algebra lineare è già, volendo, Geometria affine.
Infatti non dimentichiamo che il concetto di spazio vettoriale non è nato prima della Geometria; la definizione di spazio vettoriale così come oggi si trova sui testi di Algebra lineare, proviene da una definizione molto più concreta, ovvero dalla struttura dello spazio dei vettori geometrici: vettori applicati, con direzione e verso. I matematici hanno quindi solo ribaltato il punto di vista. I greci partivano dagli assiomi euclidei per fondare la Geometria, e con questi avrebbero potuto costruire lo spazio vettoriale dei vettori geometrici. Noi invece che abbiamo capito dove arrivare, ovvero ai vettori e alle loro proprietà, ribaltiamo il tutto e partiamo dall’algebra degli spazi vettoriali, costruita su modelli noti, ovvero Rn, e da quelli costruiamo la Geometria affine prima ed euclidea poi sull’algebra lineare. Può sembrare solo un punto di vista diverso, ed in effetti per certi aspetti lo è. Ma non sottovalutiamo il fatto notevole che partendo dagli assiomi di Euclide si pone un problema di coerenza della Teoria assiomatica, problema che non si pone se noi fondiamo la Geometria sull’Algebra lineare, purchè ovviamente l’Algebra lineare sia a sua volta fondata su un’assiomatica coerente.
Dunque cosa è la Geometria affine? E’ facile: abbiamo lo spazio vettoriale di dimensione n: basta avere un insieme di punti tali che vi sia una corrispondenza uno ad uno tra vettori e coppie di punti (punto iniziale e punto finale). Stiamo quindi costruendo la “geometria dei vettori”, come l’inuitio ci suggerisce. Ad esempio dato il vettore PQ ed il vettore QR richiederemo che PQ+QR=PR. Con altre proprietà ovvie del calcolo vettoriale si arriva alla definizione di Spazio affine, ovvero di spazio di punti che è in corrispondenza con lo spazio vettoriale: più precisamente fissato un punto dello spazio affine, lo spazio affine stesso è in corrispondenza biunivoca con lo spazio vettoriale. Infatti la corrispondenza è data da quella che manda il punto P nel vettore OP. Ecco che ricostruiamo la Geometria analitica sull’Algebra lineare, la teoria degli spazi vettoriali ci dà tutti gli strumenti per proseguire: le basi daranno sistemi di coordinate, i cambiamenti di base daranno cambiamenti di coordinate per esempio.