Scomporre un polinomio in fattori è un’operazione algebrica molto importante, che riveste tantissime applicazioni nel calcolo letterale e nell’algebrica classica.
Un polinomio è un espressione del tipo anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, con ai numeri reali. Vi sono vari metodi per fattorizzare un polinomio; passiamo in rassegna i più comuni:
- Raccoglimento a fattor comune: si individua un fattore comune a tutti i monomi che può così essere raccolto. Esempio: x3+2x2=x2(x+2).
- Raccoglimento parziale: si individuano due o più raccoglimenti distinti che poi danno un unico raccoglimento comune. Esempio: x2+3x-yx-3y=x(x+3)-y(x+3)=(x-y)(x-3).
- Riconoscimento di prodotti notevoli: si intuisce lo sviluppo di un particolare prodotto notevole, tipicamente sviluppi di potenze di binomi, o trinomi, e ancora somma per differenza di quadrati. Esempio (differenza di quadrati): x2-9=(x-3)(x+3). Esempio (quadrato trinomio): x2-6x+9=(x-3)2. In generale a2-b2=(a+b)(a-b); a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2;
- Regola di Ruffini: questa è un po’ l’ultima spiaggia, e l’idea è quella di indovinare uno zero del polinomio, ed effettuare quindi una divisione. Esempio: x3+4x2-2x-3. Tale polinomio ha x=1 come zero; quindi posso dividere il polinomio per il binomio x-1 trovando come quoziente (ometto il conto) x2+5x+3. Risulterà quindi x3+4x2-2x-3=(x-1)(x2+5x+3). L’ultimo trinomio scritto senza una conoscenza della teoria delle equazioni algebriche di secondo grado non può essere fattorizzato.