Gradiente, divergenza e rotore sono tre operatori differenziali; il gradiente agisce su campi scalari, mentre divergenza e rotore agiscono su campi vettoriali. Vediamo di analizzare i significati di questi tre operatori.
Gradiente. Il gradiente di un campo scalare F su Rn regolare è il vettore di Rn che ha per componenti le derivate parziali di F rispetto alle variabili xi di Rn. Il gradiente è un vettore che risulta essere ortogonale alle curve di livello del campo F, ovvero alle curve di equazione F=costante. Da ciò discende il fatto che il gradiente punta nella direzione di massima pendenza del grafico di F, ed in salita. La stessa direzione ma di verso opposto, quindi contro il gradiente, viene ad essere la direzione di discesa più ripida. Il Teorema principale sul gradiente, detto appunto Teorema del gradiente, afferma che se c è un arco di curva regolare parametrizzato da c=c(t) per t ∈ [a,b] e F è un campo scalare regolare su Rn allora si ha
∫[a,b]∇F ⋅c'(t) dt = F(b) – F(a).
Tale Teorema afferma che la circuitazione del gradiente lungo una curva dipende solo dai valori iniziale e finale del campo F.
Divergenza. La divergenza di un campo vettoriale regolare su Rn è data dalla somma delle derivate parziali delle componenti Fi di F rispettivamente rispetto alla variabile xi. Il Teorema principale che illustra il significato della divergenza è dato dal Teorema della divergenza, che è una versione multi-dimensionale del Teorema di integrazione per parti. Denotando con div F la divergenza di F, sia V un volume con bordo la superficie S; allora si ha
∫V div F dx = ∫S F⋅dn
ovvero l’integrale della divergenza sul volume eguaglia il flusso del campo attraverso il bordo del volume. La divergenza di un campo vettoriale F misura quindi quanto flusso attraversa la superficie S rispetto al volume racchiuso.
Rotore. Il rotore di un campo vettoriale regolare su R3 (qui serve la dimensione 3 per ben definire il prodotto vettoriale) è dato, formalmente, dalla seguente formula
rot F=∇ x F
dove si intende l’operatore ∇ "moltiplicato" vettorialmente per il campo F. Il Teorema principale che illustra il significato del rotore è dato dal Teorema di Stokes, che è anche’esso una versione tri-dimensionale del Teorema di integrazione per parti. Sia S una superficie e c la curva bordo di S; allora si ha
∫S rot F⋅dn = ∫cF⋅dT
ovvero il flusso del rotore attraverso S eguaglia la circuitazione del campo lungo il bordo di S.
Gli operatori differenziali hanno notevole importanza nella formulazione delle leggi fisiche; ad esempio le equazioni di Maxwell che descrivono l’elettrodinamica classica sono scritte combinando opportunamente questi operatori qui illustrati.