Dalla domanda posta si deduce confusione circa il concetto di misura di un segmento geometrico. Per poter parlare di misura di una grandezza geometrica è prima necessario aver fissato una unità di misura, ovvero un oggetto che abbia, per definizione, misura pari a 1; ci si chiede dunque quante volte l’unità di misura sta nel nostro oggetto da misurare.
Andiamo a dire il tutto in termini più precisi soffermandoci sul caso delle lunghezze. Il nostro scopo è quello di misurare la lunghezza di un segmento AB. Fissiamo dunque un segmento arbitrario u che, per definizione, ha lunghezza 1. Allora la misura del segmento dato AB risulta essere, detto in parole povere, il numero di volte che u sta nel segmento AB.
Ad esempio se AB è il doppio di u allora AB avrà misura 2; se AB è la metà di u, allora AB avrà misura pari a 1/2. Andando quindi a considerare tutti i multipli e sottomultipli di u, che si possono costruire geometricamente, si trovano tutti i segmenti AB che hanno lunghezza razionale.
Andiamo ora a chiederci se esiste un segmento AB che invece non ha una misura razionale (rispetto ad una unità fissata u). La domanda perde di significato e si banalizza se avessimo la libertà di cambiare unità di misura: in fin dei conti stiamo misurando un segmento solo, per cui nulla ci vieta di scegliere proprio AB come unità di misura. Ne segue che AB diventa di lunghezza 1.
Quindi il problema non sta molto nel chiedersi se un segmento ha misura razionale o no, ma sta nel chiedersi se, per esempio, dati due segmenti AB e CD, si può trovare una unità di misura u tale per cui le misure dei due segmenti sono numeri interi. Questo fatto non è assolutamente scontato, ed infatti potrebbe non essere vero: i segmenti tali per cui si verifica quanto detto sono detti tra loro commensurabili (si possono misurare, con miusra intera, rispetto ad una unità di misura comune), mentre quelli che non verificano la proprietà sono detti tra loro incommensurabili.
Il celebre esempio di segmenti tra loro incommensurabili è costituito dalla coppia lato del quadrato-diagonale del quadrato. Nella domanda posta ci si chiede come mai queste due grandezze siano tra loro incommensurabili dal momento che il loro rapporto è un numero intero. Le cose vanno diversamente, poichè per quanto detto il punto della problematica è trovare una unità di misura u comune tale per cui i due segmenti abbiano misura intera rispetto ad u, e da cui seguirebbe che il loro rapporto è un numero razionale. Se non imponessimo di avere una misura comune, il tutto, come già detto sopra, sarebbe banale: scegliamo u=AB per misurare AB e scegliamo u=CD per misurare CD; le due misure sono 1 ed il rapporto è 1.
Per mostrare invece che il lato del quadrato e la diagonale dello stesso sono incommensurabili tra loro, basta ragionare per assurdo. Supponiamo che esista una unità di misura u tale per cui il lato del quadrato vale l (rispetto ad u) e la diagonale del quadrato stesso vale d, sempre rispetto ad u, con l e d numeri interi positivi. Allora, per il Teorema di Pitagora dovrebbe essere d^2=2l^2, e da qui si deduce in modo classico l’assurdo: nella fattorizzazione unica del numero d deve apparire un 2, per cui nella fattorizzazione di d^2 deve apparire una potenza pari del numero 2; potendo supporre d ed l coprimi tra loro, nella fattorizzazione di l^2 non appare dunque il numero 2, ma allora il numero 2 appare con potenza pari al primo membro e con potenza 1 al secondo membro, che è assurdo.