La tecnica del fly-by (o fionda gravitazionale, tanto che in inglese si parla di slingshot effect, appunto effetto fionda o di gravity assist) è un modo per "risparmiare carburante" utilizzando l’energia gravitazionale di un corpo in moto pe accelerare, semplicemente utilizzando principi base di meccanica celeste.
Ad esempio la sonda Cassini, che si trova attualmente in orbita attorno a Saturno, ha complessivamente risparmiato circa 75 tonnellate di carburante, utilizzando questo sistema piuttosto che la propulsione a motore.
In questa precedente risposta è già spiegato qualitativamente il comportamento dei corpi.
Quantitativamente, i principi fisici che permettono il calcolo delle velocità finali in uscita da un fly-by sono :
- conservazione della quantità di moto
- conservazione dell’energia
infatti il sistema a due corpi è (approssimativamente, durante la fase di interazione gravitazionale) chiuso e isolato, e non sottoposto a forze esterne. Si tratta a tutti gli effetti di un urto elastico.
Ciò che occorre osservare è che, al contrario dell’urto come lo intendiamo solitamente, è sufficiente una interazione fra i corpi per parlare di urto (diffusione o scattering) in fisica.
Se i due corpi non interagiscono (oppure la loro interazione è debole, o avviene per un periodo troppo breve) si trascurano gli effetti dell’urto ed è il solo caso in cui le loro velocità restano inalterate.
Indicando con le lettere minuscole il corpo orbitante e con quelle maiuscole il corpo attorno a cui avviene il fly-by, e indicando con un apice le grandezze finali, la formulazione dei principi di conservazione, nel caso in cui il corpo che ha bisogno del gravity assist si avvicini in direzione parallela al moto del corpo più grande ma con verso della velocità opposto e, dopo l’interazione gravitazionale, abbia una direzione di nuovo parallela ma con verso concorde al corpo più grande (o viceversa, prima concorde e poi discorde, facendo attenzione ai segni della velocità), è:
mv+MV=mv’+MV‘ per la quantità di moto
mv2+MV2=mv’2+MV’2 per l’energia cinetica
combinando le equazioni si ottiene
v’=2M/(M+m)V+(M-m)/(M+m)v
Poiché il corpo che va incontro al fly-by è tipicamente di massa molto minore (di diversi ordini di grandezza) rispetto al corpo attorno a cui avviene il flyby, quest’ultimo mantiene sostanzialmente invariato il suo moto (V=V’), inoltre sia (M+m) che (M-m) si possono confondere con M, per cui v’=2V+v.
Il risultato è lo stesso che si ottiene se un corpo di massa m e velocità v urta unidirezionalmente un corpo di massa M e velocità V.
Se invece consideriamo il caso più generale:
Se consideriamo il sistema di riferimento del corpo più grande, la conservazione dell’energia ci dice che il corpo in orbita mantiene il modulo della sua velocità; nel riferimento inerziale, il modulo della velocità aumenta tanto più quanto maggiormente la direzione del corpo si allinea a quella del pianeta attorno a cui avviene il fly-by.
Con i simboli indicati in figura, le leggi della trigonometria dicono che
vf2=vi2 + 2V {V(1-cosβ) + vi [cos(α-β)-cos α]}
vf cos α’=V(1- cosβ) + vi cos(α-β)
vf sen α’=V senβ + vi sen (α-β)
Quando β=0, si ha vi=vf e α’=α. Come detto in precedenza, la velocità finale è massima quando si allinea con V, che avviene per βmax=arctg (vi sen α)/(vi cos α – V’).
Dalle leggi di Keplero e dalle equazioni delle orbite, sappiamo che le orbite iperboliche, hanno energia positiva ed eccentricità (ε) maggiore di 1. Poiché l’oggetto che effettua il fly-by percorre proprio un’orbita iperbolica, si può calcolare che l’angolo di deflessione β è dato da
β=2 arccos (-1/ε)-π
i valori sono 2, l’angolo più piccolo deflette l’orbita che passa più lontano dal pianeta.
Tutti questi calcoli vengono effettuati trascurando le dimensioni del corpo attorno a cui si effettua il fly-by.
In realtà anche questo ha dimensioni finite, e solitamente paragonabili a quelle tipiche del fenomeno.
Pertanto va considerata la possibilità che il fly-by non può avvenire, ad esempio, a distanza minima più piccola del raggio del corpo interessato (pena la collisione, anche se in realtà è sufficiente che il corpo che deve effettuare il fly-by in qualche modo interagisca con l’atmosfera del pianeta).
Si impone quindi una condizione sul minimo parametro d’impatto b:
b>R√[1+(2gR)(u2)]
dove R è il raggio del corpo attorno a cui avviene il fly-by, g l’accelerazione di gravità sulla sua superficie, u la velocità di avvicinamento a grande distanza.
Altre approssimazioni riguardano il fatto che il sistema sia isolato: un fly-by attorno a un pianeta avviene sempre nel campo gravitazionale del Sole, e di questo va tenuto conto, inoltre durante il fly-by, che richiede sempre qualche giorno, la velocità V non rimane costante, ruota un poco mentre il pianeta si muove sulla sua orbita, rispetto al riferimento inerziale.
Di questi effetti si tiene conto nelle simulazioni numeriche delle orbite.
Per i punti lagrangiani, sempre Paolo Sirtoli ha risposto alla domanda in questa esauriente risposta.
Il motivo per cui in certe situazioni si mettono in orbita oggetti nei punti lagrangiani di un sistema, è che i punti condividono stabilmente l’orbita dell’oggetto che ruota, in quanto sono punti di equilibrio.
Quindi ad esempio, un satellite posto in un punto lagrangiano ruota solidalmente al sistema, rimanendo sostanzialmente fermo rispetto ai due corpi del sistema.
Ci sono corpi che stabilmente occupano i punti lagrangiani (tipicamente L4 ed L5) di un sistema a 2 corpi:
- gli asteriodi Troiani per il sistema Sole-Giove
- Telesto e Calypso per il sistema Saturno- Teti
- le nubi di Kordilevsky per il sistema Terra-Luna
Negli altri punti lagrangiani, essendo punti di equilibrio instabile, è difficile trovare corpi in orbita, poiché vengono allontanati dal punto lagrangiano da ogni minima perturbazione, per non farvi più ritorno.
Anche diverse missioni spaziali hanno immesso o hanno in programma di immettere in orbita dei satelliti artificiali nei punti lagrangiani o in orbita attorno ad essi:
- SOHO (L1 del sistema Terra Sole, che è instabile con un periodo di 23 giorni, per cui lo spacecraft richiede continue modifiche di assetto)
- WMAP e, in futuro, JWSP (L2 del sistema Terra Sole)
- LISA (per ora è previsto il lancio del suo Pathfinder)
Per approfondire:
Fionde gravitazionali
Am. J. Phys, 71, 2003, J.A. Van Allen, Gravitational assist in celestial mechanics