La domanda è probabilmente suggerita dal fatto che, oltre alla ovvia soluzione a = b, questa equazione ha almeno un'altra soluzione "famosa": infatti, 2⁴ = 16 =4². È allora lecito chiedersi se esistano altre coppie di numeri che si comportano in questo modo e, nel caso, se sia possibile determinarle analiticamente.

      È possibile rendersi conto (ragionando sulle proprietà di base delle potenze) che se l'equazione è soddisfatta a e b devono avere lo stesso segno; ragionando allo stesso modo è anche possibile capire che se a e b sono negativi l'unica soluzione di questa equazione è quella banale, cioè a = b. Restringiamoci dunque al caso in cui a e b sono positivi: in questo modo, siano ben definite le funzioni esponenziali aventi questi due numeri come base.

      Dal momento che a e b sono positivi esiste un numero reale x = log_a(b) tale che b = a^x. L'equazione diventa allora a^{(a^x)} = a^ax, che è soddisfatta se e solo se a^x = ax, se e solo se a^x - 1 = x. È facile allora rendersi conto che per ogni valore di a tale equazione ammette sempre la soluzione x = 1 (che corrisponde a a = b). Inoltre, se a è maggiore di 1 e diversa da e = 2.71828... esiste anche un'altra soluzione x₁: se 1 < a < e si ha x₁ > 1, mentre se a > e si ha 0 < x₁ < 1: ad esempio si veda la figura sottostante, dove sono rappresentate le tre curve di equazione y = x (in giallo), y = 1.8^x - 1 (in blu) e y = 10^x - 1 (in rosso). Si noti quindi che, dal momento che b = a^x1, se la coppia a, b è una soluzione non banale dell'equazione a^b = b^a, allora b è maggiore o minore di a a seconda che a sia maggiore o minore di e.