08.03.2000
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Gaetano Partipilo chiede:
Sono un giovane studente di matematica e vorrei sapere se esistono algoritmi approssimati che diano i valori di tutte le funzioni trigonometriche di qualsiasi angolo e non solo di quelli particolari.Grazie
(risponde Carlo Consoli)
Approssimazione di funzioni tramite serie di potenze
Il lavoro dei matematici Taylor e Maclaurin ha prodotto un importantissimo metodo di approssimazione di funzioni in serie di potenze, oggi largamente applicato nel calcolo numerico e nelle moderne macchine calcolatrici elettroniche. Gli strumenti matematici che consentono l’applicazione dei risultati di Taylor e Maclaurin si apprendono in quinta liceo scientifico o nel primo anno di università, nelle facoltà scientifiche. In questa sede verranno esposti i esclusivamente i risultati.
Una serie di potenze è un polinomio di infiniti termini della forma
[1]
la serie di potenze in [1] è detta "centrata in a" e i cn sono detti coefficienti della serie di potenze.
Se esiste una serie di potenze che converge ad una funzione f(x), allora la funzione è detta analitica. Ciò implica l’esistenza di una funzione R(n) detta resto dell’espansione parziale in serie di potenze
[2]
in n termini. Se f(x) è analitica, quindi, il resto R(n) converge a zero al crescere di n.
La formula di Taylor fornisce l’espressione dell’espansione in serie di potenze di una funzione analitica f(x):
[3]
la serie di potenze è detta di Maclaurin se a=0 e l’espressione f(i)(x) è la derivata di ordine i-mo della funzione f(x).
Approssimazione delle funzioni trigonometriche
L’approssimazione delle funzioni trigonometriche può essere operata applicando quindi la serie di Maclaurin.
L’espansione polinomiale della funzione seno vale, quindi,
[4]
ed ha coefficienti unitari ma di segni alterni ed esponenti dei termini dispari.
La figura 1 illustra graficamente le approssimazioni successive per lunghezze crescenti dell’espansione polinomiale in serie di potenze. della funzione seno. I numeri in rosso rappresentano il grado dell’espansione polinomiale raffigurato.
Fig.1: Espansione polinomiale della funzione sin(x)
Si osservi come, al crescere della lunghezza dell’espansione in serie, i polinomi approssimino con precisione crescente la funzione seno.
Analogamente, la funzione coseno si approssima con:
[5]
e le approssimazioni delle altre funzioni trigonometriche possono essere ricavate mediante l’applicazione della formula di Taylor o sostituendo la [4] e la [5] nelle proprietà che le definiscono.
Note biografiche
Taylor (Brook), matematico inglese (1685-1731). Nella sua opera principale, Methodus incrementorum directa et inversa (1715), introdusse il calcolo delle differenze finite, abbozzò la determinazione degli integrali singolari delle equazioni differenziali e studiò i cambiamenti di variabili.
Maclaurin (Colin), matematico scozzese (Kilmoddan 1698 - Edimburgo 1746). Fu uno dei più insigni discepoli di Newton. Si dedicò alla geometria pura, all'algebra e al calcolo infinitesimale di cui sviluppò con genialità i princìpi. Nel suo De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus, oltre alla famosa formula che è nota ancora oggi con il nome di formula di M., vi si trova trattato il problema dell'attrazione esercitata da un ellissoide sopra un punto situato sulla sua superficie oppure interno a essa e vi è rivelata la scoperta delle configurazioni sferoidali d'equilibrio di una massa fluida omogenea soggetta a un moto rotatorio.
(fonte: Enciclopedia Multimediale Rizzoli ’98)