somma dei primi n quadrati perfetti

18.05.2000

Se hai altre
curiosita'

formula qui
la tua domanda

Maurizio chiede:

Il problema che vi propongo è facilmente risolvibile (dato il numero di termini) sia con MATHEMATCA che con una programmazione qualunque basic, turbo c ecc.) ma trovare la formula che dia la somma di una progressione con ragione variabile non rieco a trovarla.
Per le altre progressioni (a ragione fissa) non ci sono problemi ma per questa si !
Progressione = 1^2+2^2+3^2.....etc.(1+4+9+16....)
La ragione è a sua volta una progressione per fortuna fissa (1,3,5,7,9....).
La formula risolutiva l'ho trovata in un formulario S=n(n+1)(2+n+1)/6 ma non riesco a ricavarla.

(risponde Carlo Consoli)

L’espresione da lei cercata, la somma dei primi n quadrati perfetti è

[1]

Rammentiamo brevemente che la somma dei primi n numeri naturali è

[2]

La leggenda vuole che a scoprirla sia stato il genio di Gauss, in tenera età, grazie ad una elegante intuizione geometrica. Si osservi la figura 1:

Fig. 1: La somma dei primi n naturali è pari alla semiarea del rettangolo di lati n ed n+1

La chiave risolutiva è l’osservazione che il numero di quadrati tratteggiati (ovvero la somma dei primi 3 numeri naturali) è pari alla semiarea del triangolo di lati 4 e 3. Da qui, la [2].

La formale dimostrazione della 1, ottenuta intuitivamente, si completa utilizzando il principio di induzione:

Sia p(n) una proprietà,

1) se p(n) è verificata per n=0 (passo base del principio di induzione)

2) se p(n) è verificata implica (ipotesi induttiva) che p(n+1) è verificata

allora p(n) è verificata per tutti i numeri naturali n.

Al lettore va l’esercizio di applicazione del principio d’induzione alla dimostrazione della [2].

Confesso che il quesito del lettore mi ha dato da pensare un bel pò. Alla fine, la chiave per ricavare l’espressione cercata sta proprio nell’uso di un criterio geometrico.

Si osservi la fig. 2:

Fig. 2: Solido con volume pari alla somma dei primi n quadrati perfetti

La figura 2 è ottenuta impilando i quadrati di lato 1x1, 2x2, 3x3 e 4x4. La somma dei primi n quadrati perfetti è quindi pari al numero di cubetti della figura costruita reiterando n volte il procedimento.

Ora, si prenda un coltello ben affilato e si affetti la figura 2 partendo dai cubetti grigi di sinistra e si osservi la figura ritagliata. A cosa assomiglia ?

Il numero di cubetti ritagliati è pari alla somma dei primi 4 numeri naturali !

A questo punto, reiterariamo il processo e consideriamo la differenza in numero di cubetti tra il taglio corrente ed il primo taglio:

Primo taglio: 10 cubetti eliminati
Secondo taglio: 9 cubetti eliminati, differenza : 10-9 = 1
Terzo taglio: 7 cubetti eliminati, differenza: 10-7 = 3
Quarto taglio: 4 cubetti eliminati, differenza: 10-4=6

quanto vale la differenza, nei passi successivi ?
La differenza è pari, di nuovo, alla somma dei primi n numeri naturali !
Si immagini ora di costruire la figura 2 utilizzando un numero n qualsiasi di cubetti.

· Al primo taglio si elimineranno n(n+1)/2 cubetti.

· Al secondo taglio si elimineranno n(n+1)/2 cubetti meno la differenza: la somma del primo numero naturale, cioè 1

· Al terzo taglio si elimineranno n(n+1)/2 cubetti meno la differenza: la somma dei primi 2 numeri naturali, cioè 3

· Al quarto taglio si elimineranno n(n+1)/2 cubetti meno la differenza: la somma dei primi 3 numeri naturali, cioè 6

· All’i-mo taglio si elimineranno n(n+1)/2 cubetti meno la differenza: la somma dei primi i-1 numeri naturali, cioè i(i+1)/2

Possiamo contare il numero di cubetti che compongono la figura 2 affettandola in n passi.

Più formalmente:

[3]

e valutiamone i termini singolarmente.

[4]

perché sommatoria in n-1 passi di termini indipendenti dalla variabile iterativa i.

[5]

perché la sommatoria gode della proprietà distributiva .

Introduciamo inoltre il seguente artifizio sugli indici della sommatoria:

[6]

che ci consente di rendere confrontabile il termine sommatoria di i² della [5] con il primo membro della [3] (attenzione: l’estremo superiore della sommatoria è stato portato da n-1 ad n).

Per cui, la [5] diviene:

[7]