matematica

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Sono uno studente del liceo Scientifico Statale "A.Gatto" e vorrei avere un elenco completo e dettagliato sui prolemi irrisolti e sulle congetture riguardanti i numeri primi (anche a livello universitario).

(risponde Carlo Consoli)

Numeri Primi

Essenzialmente dovuto alla  apparente distribuzione casuale lungo l'insieme dei numeri naturali, il  fascino dei numeri primi è innegabile.
Il reperto più antico correlato ai numeri primi è conservato al Museo di Storia Naturale di Bruxelles. Sull'"Osso di Ishango" , datato circa 6500 a.C.,  sono raffigurate tre colonne con quattro intagli. Una delle colonne ha 11, 13, 17 e 19 intagli.
Il primo risultato importante sui numeri primi è dovuto ad Euclide che, più di duemila anni fa, ne ha dimostrato l'infinità. Tale dimostrazione, tuttavia, non ha fornito alcuna indicazione ulteriore sulla distribuzione dei numeri primi lungo l'insieme dei naturali. Dal 1700 ad oggi, i più grandi matematici della storia come Gauss, Legendre, Rienmann, Dirichlet, Chebyshev e Hadamard hanno studiato ed affrontato il problema della distribuzione dei numeri primi.
Tutte le questioni e le congetture ancora aperte oggi, quindi, sono incentrate su questo problema. L'elenco delle congetture che segue non è certamente  "completo e dettagliato", ma illustra le congetture "più forti" ancora irrisolte.



 

Definizioni e Proprietà

Definizioni

  • Divisore: Siano n , m  numeri naturali, m è detto divisore di n se e solo se esiste un numero naturale q tale che q = n/m
  • Numero Primo: Un numero naturale n è primo se ha come unico divisore 1
  • Numero Composto: Un numero naturale non primo è detto composto.
  • Numeri Relativamente Primi: Siano n , m  numeri naturali, sono detti relativamente primi se e solo se hanno come unico divisore comune 1
  • Numeri Primi Gemelli:  Due numeri primi p e q sono detti gemelli  se e solo se p-q = 2. Esistono infinite coppie di primi gemelli, come 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13. Nel 1919 Brun ha dimostrato che la somma dei reciproci delle infinite coppie di primi gemelli converge ad una costante detta, appunto, Costante di Brun B = 1.902160577783278.

Proprietà

  • Teorema Fondamentale dell'Aritmetica: Ogni numero naturale positivo n è primo o composto
  • I numeri primi sono infiniti (Euclide, 300 a.C.)
  • Teorema dei Numeri Primi : Sia pi(n) il numero di primi minori o uguali a n. Il Teorema dei Numeri Primi asserisce che pi(n) ~ n/log n. Il teorema  implica tre fatti importanti:
    1. l'n-mo numero primo è circa uguale ad n*log(n).  (oss: il logaritmo è naturale, in base e).
    2. si può approssimare pi(n) con n/(log n -1)
    3. la probabilità che un numero naturale positivo  n sia primo è pari a 1/log(n)

Congetture sui Numeri Primi

Congettura di Goldbach:  Per ogni numero pari n>2, esistono due numeri primi (non necessariamente distinti) p e q tali che n = p+q

La forma originale della congettura era stata inviata da Goldbach ad Eulero nel 1742, ipotizzando che ogni numero pari maggiore di 5 fosse scrivibile come somma di tre numeri primi. Eulero ha dimostrato l'equivalenza di questa ipotesi alla congettura iniziale.

Problema di Goldbach sui Numeri Dispari: Per ogni numero dispari n > 5, esistono tre numeri primi (non necessariamente distinti) p, q, r tali che n = p+q+r.
La ricerca attuale sui numeri primi ha risolto (Chen e Wang, 1989)  il problema di Goldbach per n > 1043000 .

Ogni numero dispari è scrivibile per differenza di due numeri primi: Per ogni numero dispari n, esistono due numeri primi p e q tali che n = p-q.
Congettura formulata da Chen nell'esame del Problema di Goldbach.
Congettura dei Numeri Primi Gemelli: Esistono infiniti numeri primi gemelli

Ogni numero pari è ottenibile come differenza di infinite coppie di numeri primi consecutivi: Per ogni n pari, esistono infiniti numeri primi consecutivi p e q tali che n = p-q.
Questa congettura (Polignac, 1849) è una generalizzazione della congettura dei primi gemelli, che si ottiene ponendo n=2.

Esistono infiniti primi p tali che p = n2+1 , per ogni n?

Esistono infiniti primi q tali che q = 2p-1 , ove p è primo?

Esistono infiniti primi p tali che p = 22n+1 , per ogni n?

Esiste sempre un numero primo tra due quadrati perfetti consecutivi ? Per ogni n, esiste sempre un numero primo p tale che n2< p <  (n+1)2?

Esiste sempre un numero primo tra due quadrati perfetti consecutivi ? Per ogni n > 1, esiste sempre un numero primo p tale che n2< p <  (n2+n)?

Congettura di Opperman: pi(n2+n) > pi(n2) > pi(n2-n) (n>1).
Questa e la congettura precedente sono automaticamente dimostrate qualora si provi che la differenza tra un  numero primo p ed il successivo tende alla costante (log p)2.


 WWW Links

Sui Numeri Primi - risposta di Daniela Nasi e Luca Fini
The Prime Page
Prime Conjectures and Opern Questions
Ivars Peterson's MathLand
Largest Known Prime Found by SGI/Cray Supercomputer