Qual è il massimo numero di cifre possibili del periodo di un numero periodico?
(risponde Carlo Consoli) 
 

Il periodo dei numeri razionali non è limitato superiormente, questo fatto si dimostra osservando che 1/9 = 0.1111 …. , 1/99 = 0.010101…, 1/999 = 0.001001… eccetera.

Nel seguito, per comodità, la parte periodica del espansione decimale di un numero viene indicata mediante sottolineatura quindi, 0.025 = 0.0252525 …. .

Definizione

Sia q un numero razionale tale che q=n/m, per m non nullo. Il numero q è detto periodico se le cifre dopo la virgola mostrano una ripetizione con intervallo di ripetizione fissato, detto periodo.

Esempi di numeri periodici sono 1/6=0.16, 1/7=0.142857, 1/99 = 0.01.

Proprietà

Le proprietà attinenti alla struttura della parte periodica dei numeri razionali sono molteplici e coinvolgono la Teoria dei Gruppi, i numeri primi ed il lavoro di Fermat (matematico e magistrato francese 1601-65, fondatore della Teoria dei Numeri e della Probabilità), in particolare il suo "Piccolo Teorema". La selezione di proprietà esposte nel seguito consente di esaminare gli aspetti interessanti ed accessibili del problema.

1. Un numero periodico può mostrare una sequenza aperiodica di cifre subito dopo il punto decimale, come ad esempio 1/24 = 0.416.
2. Il numero q = 1/(10^r-1) ha periodo r e vale q=0.0…1 ove la parte periodica è, appunto, lunga r cifre.
3. Il massimo periodo di un numero q=n/m dipende unicamente dal denominatore m.
4. Se q=n/m è periodico, non ha parte aperiodica dopo la virgola se e solo se m è un divisore di 10^r-1 per qualche r. Ad esempio 1/7=0.142857=142857/999999; infatti 7 è divisore di 999999 e, ovviamente, 999999/7=142857.
5. Non esiste alcun limite superiore alla lunghezza del periodo.

Le proprietà 1 e 2 introducono due aspetti strutturali dei numeri periodici decisamente interessanti. In particolare, la proprietà 2 fornisce un metodo per costruire una base per i numeri periodici senza parte aperiodica dopo il punto decimale. Ciò significa che 1/999 è la base per costruire i numeri periodici con periodo 3. La proprietà 2, unita alla 3, consente di scrivere numeri a periodo e parte periodica arbitraria. Ad esempio è possibile scrivere 0.367 come 367*0.001 ovvero a 367/999. Questa considerazione dimostra la proprietà 5 e risponde automaticamente alla domanda del lettore; infatti, non esiste alcun limite superiore ad un numero di r cifre tutte pari a 9, ovvero 10^r-1.

La proprietà 4 si dimostra per assurdo in entrambo i versi di implicazione. Senza entrare in dettaglio (una prova formale sarebbe tediosa), supponendo che sia falsa si ottiene che 10^r-1 ha parte aperiodica dopo il punto decimale, il che è assurdo.