Qual è la legge ricorsiva che definisce la curva di Peano? Come è possibile dimostrare i concetti di continuità e suriettività nella curva di Peano?

(risponde Carlo Consoli)

Peano, frattali e mostruosità matematiche

Giuseppe Peano (Cuneo, 1858 – Torino, 1932) scoprì, nel 1890, una curva in grado di riempire il piano "senza buchi". La curva di Peano ha scosso il mondo matematico tanto che Hilbert definì le curve costruite in modo analogo "Curve Mostruose".

Lo sconcerto è comprensibile, perché curve come quella di Peano mappano, in modo ricorsivo, con uniforme continuità segmenti in aree del piano.

Il procedimento ricorsivo è definito partendo da un elemento di base come quello definito in figura 1

Fig. 1 Elemento Base

Nel passo successivo, la figura viene costruita replicando per quattro volte l’elemento base riducendone le dimensioni a un quarto delle originali, mantenendo inalterato l’orientamento delle due copie inferiori e ruotando di 90 gradi a sinistra e a destra le due copie superiori. Inoltre, effettuano le connessioni come da figura 2 (le connessioni sono evidenziate in nero)

Fig. 2 Seconda Iterazione

(Il lato del quadrato ha dimensione costante pari ad 1, le figure hanno dimensioni crescenti solo per chiarezza)

La figura 3 illustra il terzo passo dell’iterazione, che consiste nel replicare quattro volte la figura del passo precedente, ridotta di un fattore 4, applicando le operazioni di rotazione e di connessione definite.

Fig. 3 Terza Iterazione

Iterando all’infinito, si ottiene una "curva limite" che copre interamente l’area a disposizione.

Si osservi che ogni iterazione suddivide il quadrato originario in quadrati di dimensioni più piccole, contenenti repliche in scala della curva del passo base. Questa proprietà è tipica delle curve "frattali", di cui possiamo trovare ottimi esempi in natura (i profili delle coste, la struttura dei fiocchi di neve, la geometria del fogliame …).

Definizione della curva di Peano

Definiamo ora formalmente il processo di costruzione per induzione strutturale della curva di Peano.

Mostreremo come la curva di Peano è ottenibile come limite di una successione di funzioni convergente.

La curva di Peano è definita ricorsivamente mediante trasformazioni successive di una curva f₁ definita sul segmento [0,1] con valori nel quadrato unitario Q0=[0,1]x[0,1]:

che descrive, ad esempio, una curva come quella di figura 1.

Supponiamo ora di dividere il quadrato unitario in quattro quadrati di lato ¼ Q00, Q01, Q10, Q11, come da figura 4.

Fig. 4 Suddivisioni del quadrato unitario al secondo passo

Si costruisce la curva f₂ del passo successivo modificando la curva iniziale in modo che mappi [0,1/4] in Q00, [1/4,1/2] in Q01, [1/2, ¾] in Q10 e in [3/4, 1]in Q11. Inoltre, occorre modificare la curva tenendo conto delle rotazioni e dei segmenti addizionali di connessione.

In ogni caso, la funzione f₂ sara definita in modo tale che

La larghezza degli intervalli quadrati in questo passo (n=2) è paria ¼ ; per induzione strutturale la larghezza degli intervalli quadrati (o "sottoquadrati") al passo successivo (n=3) sarà 1/8 ed al passo n sarà 2^-n..

In ogni passo si ripete la divisione in quattro intervalli più piccoli e si applicano le trasformazioni descritte al paragrafo precedente.

Al passo n, quindi, si ottiene una funzione che mappa il segemento unitario al quadrato unitario

la curva di Peano si ottiene per induzione iterando all’infinito il procedimento esposto.

Convergenza, continuità e suriettività

Mostriamo ora che la successione f_n converge ad una funzione continua e suriettiva.

La cosa più interessante da notare, è che, per il meccanismo di sostituzione definito, la distanza massima i punti delle curve f_n ed f_n+1 sono sicuramente contenuti nello stesso sottoquadrato di ordine n, ovvero possono giacere ad una distanza massima pari alla diagonale del sottoquadrato di ordine n (il cui lato misura 2^-n). Ciò significa che,

Ora, applichiamo la disuguaglianza nota come disuguaglianza triangolare

|x+y+z|<|x|+|y|+|z|

qui nella formulazione stretta perché gli elementi sono tutti positivi.

Troviamo quindi una minorazione per |f_n+m(t)-f_n(t)| introducendo l’artificio di aggiungere e sotrarre le funzioni di ordine intermedio tra n ed n+m, ovvero:

|f_n+m(t)-f_n(t)| = |f_n+m(t)- f_n+m-1(t)+ f_n+m-1(t) … -f_n+1(t)+ f_n+1(t) –f_n(t)|<

e applichiamo la disuguaglianza triangolare

<|f_n+m(t)- f_n+m-1(t)|+ … + |f_n+1(t) –f_n(t)|< 2^1/2-(n+m-1)+ …+ 2^1/2-(n+1)+ 2^1/2-n <

fattorizzando 2^1/2-n otteniamo

<<2^1/2-n2=2^3/2-n

poiché i termini della sommatoria di m elementi forniscono un coefficiente moltiplicativo sicuramente non superiore a 2.

Ora una successione a_i, soddisfa il criterio di convergenza di Cauchy se le differenze

|a_n+m-a_m|

convergono a zero, al crescere di n ed indipendentemente da m.

Quini, la successione di funzioni f₀…f_n converge perché soddisfa il criterio di Cauchy.

Inoltre, la convergenza è unforme perché vale per ogni t in [0,1] e le singole funzioni f_i sono continue, per costruzione.

Le successioni dotate di uniforme convergenza godono della importante proprietà

una successione di funzioni continue/derivabili uniformemente convergente, converge ad una funzione continua/derivabile.

Quindi, la funzione limite della successione f_i che descrive la curva di Peano f(t)= è continua.

Inoltre, la funzione f(t) è suriettiva poiché per ogni punto (x,y) nell’intervallo quadrato [0,1]x[0,1], è possibile determinare un valore del parametro t₀ tale che la successione di valori f_i(t₀) è via via più vicina alla coppia selezionata o, più formalmente,

Questo risultato si ottiene osservando che per ogni coppia (x,y) la curva di ordine n passa sicuramente all’interno del sottoquadrato di ordine n che la contiene, ovvero la coppia dista dalla curva sicuramente meno della diagonale del sottoquadrato, ovvero:

|(x,y)-f_n(t₀)|<2^1/2-n

ma il limite per n tendente all’infinito di questa espressione è, appunto, zero. Ciò garantisce che

f([0,1])=[0,1]x[0,1]

e la funzione f(t) è suriettiva.

Links (in inglese)

Definizione e proprietà della curva di Peano
http://www.cut-the-knot.com/do_you_know/hilbert.html

Giuseppe Peano
http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Peano.html

Esempio di curva di Peano
http://www-math.uni-paderborn.de/~fazekas/course/peano.html

"Mostruosità" matematiche
http://nova.stu.rpi.edu/~slattd/domain/monstrosities.htm

Tutorial sulla geometria frattale
http://www.ccinet.com/~rob/fractal/what.html