20.11.2000

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Silvia chiede:

Vorrei sapere chi fu il primo matematico che utilizzo il concetto di limite. Grazie.

(risponde Sonia Collini)

Il concetto di Limite

Uno dei periodi più importanti della storia della matematica è stata quello che comprende i secoli durante i quali si sono gettate le basi del calcolo infinitesimale: dalla fine del '500, con i primi tentativi di proseguire l'opera di Archimede, alla redazione degli scritti indipendenti di Newton e Leibniz (XVII e XVIII sec.). 

Il concetto di limite si trova già presente, anche se in forma non esplicita, nella matematica greca, poiché molti risultati sui calcoli di aree e di volumi ricavati dai matematici greci (ad esempio Eudosso ed Archimede) erano, in sostanza, basati su un passaggio al limite. Dovevano, però, trascorrere molti secoli prima di giungere con L. Eulero nel 1755 ad una definizione abbastanza precisa di limite, anche se Eulero non la utilizza e non sviluppa la teoria dei limiti.  Anche D'Alembert diede una formulazione del concetto di limite. Nell'articolo "limite" scritto per l'Encyclopédie chiamava una quantità di limite di una seconda quantità (variabile) se questa seconda quantità si avvicinava alla prima così tanto che la differenza fosse inferiore a qualsiasi quantità data (senza effettivamente coincidere con essa). L'imprecisione di questa definizione la rese inaccettabile per i suoi contemporanei, infatti gli autori di manuali matematici dell'Europa continentale continuare a usare fino alla fine del XVIII secolo il linguaggio e i concetti di Eulero.

Si deve a A. L. Cauchy e, soprattutto, alla successiva formalizzazione di A. Weierstrass, una definizione rigorosa di limite e, mediante essa, una costruzione rigorosa dell'analisi matematica.

Cauchy assunse come fondamentale il concetto di limite di D'Alambert, ma gli conferì una maggiore precisione. Egli formulò una definizione relativamente precisa di limite: "Quando i valori successivi attribuiti a una variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato così che finiscono con il differire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, quest'ultimo viene detto il limite di tutti gli altri".

La definizione di Cauchy, come leggiamo, faceva uso di espressioni come "valori successivi" o "avvicinarsi indefinitamente" o "così piccolo quanto si vuole".  Per quanto suggestive queste definizioni sono nondimeno prive di quella precisione che generalmente si esige dalla matematica.

Nelle sue lezioni Weierstrass definiva il limite della funzione f(x) nel punto x₀ nel modo seguente:

"Se data una qualsiasi grandezza e, esiste una h₀, tale che per 0<h<h₀ la differenza f(x₀±h)-L è minore di e in valore assoluto, allora L è il limite di f(x) per x=x₀".

Oggi la h di Weierstrass viene spesso sostituita da un'altra lettera greca, d.