4.04.2000

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la tua domanda

Giandomenico chiede:

Esistono metodi alternativi a quelli con gli integrali per calcolare le lunghezze delle curve (in particolare archi di parabola)?

(risponde Carlo Consoli)

Sia c(t)=(t, f(t)) l'espressione parametrica di una curva continua in (a,b), vogliamo calcolare la sua lunghezza approssimativa tra due punti a e b.

Dividiamo l'intervallo (a, b) in n sotto-intervalli lunghi , come in Figura 1, e costruiamo le corde tra i punti della curva corrispondenti agli estremi dei sottointervalli.

L'idea è di calcolare la lunghezza approssimata della curva sommando segmenti successivi, come in figura 1.

Fig. 1

Il metodo alle corde per il calcolo approssimativo della lunghezza della curva di equazione c(t)=(t,f(t)), compresa tra i punti a e b=a+nt, consiste nel calcolare la lunghezza della spezzata (composta dai segmenti in rosso) di Fig. 1.

Ricordiamo che la lunghezza di un segmento nel piano di estremi A=(a, b), B=(c,d) è espressa da

[1]

per cui, la lunghezza L della spezzata costruita sulla curva c(t)=(t, f(t)) si ottiene da

[2]

Si osservi che al crescere di n, ovvero del numero di intervalli di suddivisione, t tende a zero e la curva è approssimata dalla spezzata sempre con maggior precisione. Inoltre, il metodo è generalizzabile per le curve ad un numero qualsiasi di dimensioni.