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Tempo fa mi è capitato di dover risolvere un problema che più o meno diceva "calcolare in quanti modi una persona può salire una gradinata di sedici scalini facendo passi o da uno o da due gradini alla volta. Il problema si poteva risolvere facilmente (senza analizzare caso per caso) utilizzando la serie di Fibonacci.(1,1,2,3,5,8,13,21.........) Chi era Fibonacci e a cosa serviva e serve la sua serie?

(risponde Carlo Consoli)

Legenda

[S] Livello Scuola Superiore

[U] Livello Università

Leonardo "Pisano" Fibonacci

Fibonacci (Leonardo), detto Leonardo Pisano, matematico italiano (Pisa 1175 circa - 1240 circa). Dopo avere assimilato, durante numerosi viaggi, le conoscenze matematiche del mondo arabo, pubblicò intorno al 1202 la sua opera fondamentale, il Liber abaci, con cui si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi, ovvero il sistema decimale ad oggi in uso in Europa. Nato in Italia e vissuto in Nord Africa, con i suoi numerosi viaggi a fianco del padre ha avuto occasione di riconoscere i vantaggi offerti dai sistemi matematici localmente in uso.

Nel Liber Abaci ("Il Libro dell’Abaco"), in cui Fibonacci espone i fondamenti di algebra e matematica usati nei paesi Arabi, un problema fornisce l’occasione per l’introduzione della serie numerica che oggi porta il nome del matematico pisano e che si riscontra in numerosi esempi in natura. Tra questi, l’approssimazione del Rapporto Aureo.

Fibonacci pubblica nel 1220 il Pratica Geometriae ("La Pratica della Geometria"), in cui espone esaustivamente concetti di geometria e trigonometria e, nel 1225, il Liber Quadratorum ("Il Libro dei Quadrati") in cui espone un metodo per approssimare le radici quadrate e cubiche con una precisione di nove cifre.

[S] La serie di Fibonacci

La serie di Fibonacci è una successione di interi definita a partire dalla coppia 1, 1 in cui l’elemento successivo è calcolato come somma degli ultimi due.

Una definizione più formale è:

Fib(0) = 1

Fib(1) = 1

Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2) se n>1

si osservi che il valore della funzione Fib è definito in termini della funzione stessa. Funzioni di questo tipo sono dette ricorsive e vengono definite da equazioni dette ricorrenti o alle differenze.

Proviamo a calcolare i primi numeri della serie a partire dalla definizione informale, in cui costruiamo l’elemento successivo per somma degli ultimi due, iniziando dalla coppia 1, 1:

1 (primo numero iniziale)

1 (secondo numero iniziale)

2 = 1+ 1 (somma degli ultimi due)

3 = 2 +1 ( .... come sopra ... )

5 = 3 + 2

8 = 5 + 3 ( .... come sopra ... )

...

Applichiamo invece la definizione ricorsiva per calcolare Fib(4), ovvero il quinto elemento della successione (osservazione: il primo elemento è Fib(0) )

Fib(4)

=

Fib(3) + Fib(2)

=

Fib(2)+Fib(1) + Fib(1) + Fib(0)

=

Fib(1) + Fib(0) + 1 + 1 + 1

=

1 + 1 + 1 + 1 + 1

=

5

Si osservi anche che la definizione ricorsiva, sebbene più compatta, è computazionalmente svantaggiosa rispetto alla definizione informale, presentata in forma iterativa. In altri termini, il calcolo dell’n-mo elemento della successione genera un albero di computazioni dell’ordine del quadrato di n. Ciò significa che per calcolare Fib(4) abbiamo impiegato circa sedici operazioni.

Col metodo esplicito l’ordine delle computazioni è di n, in quanto per calcolare Fib(n) dobbiamo generare tutti e soli i valori degli elementi precedenti.

Il vantaggio della formulazione mediante equazioni alle ricorrenze consiste nella facoltà di trovare, con un metodo generalizzato per le equazioni alle ricorrenze (brevemente esposto nel seguito), una formulazione esplicita per il valore di Fib(n):

ove è il valore del Rapporto Aureo, pari a

Si osservi che la formula esplicita proposta è semplificata, producendo una serie di Fibonacci a partire dalla coppia 0, 1.

[S] Natura, Estetica e numeri di Fibonacci

Gli esempi in natura di elementi che richiamano la serie di Fibonacci sono numerosissimi. La serie di Fibonacci approssima il numero di placche che si contano procedendo per circonferenze, a partire dalla base in un frutto di ananas, analoghi esempi valgono per le pigne, i lati della banana, la struttura dei grappoli d’uva eccetera.

Tuttavia, l’esempio più eclatante è dato dalla connessione con il Rapporto Aureo. Gli studi di Leonardo Da Vinci sul corpo umano hanno indicato come Rapporto Aureo il rapporto esteticamente più piacevole tra le lunghezze del corpo umano (ad esempio tronco/gambe).

In un segmento, si fissi un punto intermedio in modo che lo divida in parti diseguali. Le parti sono dette in Rapporto Aureo se la parte più corta è proporzionata alla più lunga allo stesso modo della parte lunga rispetto all’intero segmento.

ovvero, supponendo che AB misuri x e BC misuri y,

che definisce il Rapporto Aureo. Sostituendo alla precedente

si ottiene

ovvero

da cui

da cui la determinazione della radice positiva perché il rapporto è tra lunghezze di segmenti

Un rettangolo i cui lati siano in Rapporto Aureo è detto Rettangolo Aureo. Esempi di Rettangolo Aureo sono le carte in formato standard ISO, come Bancomat, carte di credito, carte SIM per telefoni cellulari.

Il rapporto di due numeri consecutivi nella serie di Fibonacci approssima il Rapporto Aureo, ad esempio:

8/5 = 1.6 ; 13/8 = 1.625; 21/13 = 1.615 …

più esattamente, il rapporto tra elementi successivi della serie tende al Rapporto Aureo. Ciò significa che Fib(n+1)/Fib(n), per n molto grande, assume un valore molto prossimo a . Rettangoli 8x5, 13x8, 21x13 sono, quindi, approssimazioni via via più esatte di Rettangoli Aurei.

[U] Il calcolo della formula esplicita

Si costruisce il vettore delle condizioni iniziali

X0 = (1, 1)T = (Fib(0), Fib(1))T

e si scrive l’equazione alle ricorrenze in forma matriciale trovando la matrice A tale che

(Fib(1), Fib(2))T = X1 = A X0

da cui

poiché Fib(2) =Fib(1)+Fib(0) e Fib(1) =Fib(1).

Gli autovalori di A sono e 1- ( ove è il Rapporto Aureo), quindi la matrice P che diagonalizza A è

a questo punto si calcola agevolmente Xn=(Fib(n), Fib(n+1))T da

Da cui

per Fib(0)=0 e Fib(1)=1.

Il rapporto tra due elementi successivi converge a . Questo fatto si dimostra semplicemente calcolando

e passando al limite,

 

 


Per un po’ di storia sul rapporto aureo propongo il sito:

http://www.geom.umn.edu/~demo5337/s97b/art.htm