Vogliamo cercare di estendere il concetto di derivata (visto nel caso di funzioni a variabile reale), al caso di funzioni in più variabili. Vediamo come sia possibile far ciò, proprio partendo dalle nozioni note nel caso di funzioni dipendenti da una singola variabile.

      Sia A un aperto di ² e sia f : A -->  una funzione; fissiamo un punto X₀ = (x₀, y₀) in A e definiamo la nuova funzione f₀(x) :=f(x, y₀), ottenuta considerando la funzione f ristretta alla retta {y = y₀}. Questa nuova funzione è una funzione dipendente da una singola variabile (la x) e quindi possiamo calcolare (se esiste) il limite del suo rapporto incrementale:

se tale limite esiste finito, lo denoteremo con , che chiameremo derivata parziale della f rispetto alla x (in realtà le notazioni presenti nei vari testi sono le più varie: f, f_x, ...). In altre parole, quello che abbiamo fatto è stato considerare gli incrementi della f per piccole variazioni del suo argomento lungo la direzione dell'asse delle x.

      In maniera completamente analoga si definisce la derivata parziale rispetto alla y.

      Questa definizione ci fornisce anche un metodo per calcolare le derivate parziali (al di là del calcolo del limite del rapporto incrementale): basta considerare una variabile come "parametro" fissato ed applicare tutte le regole note per il calcolo delle derivate di funzioni dipendenti da una sola variabile reale.

      Inoltre, si definisce il vettore gradiente, il vettore le cui componenti sono rappresentate proprio dalle derivate parziali:

(anche in questo caso la notazione varia da testo a testo).

      Ma perché limitarci a considerare gli incrementi lungo l'asse delle x o delle y? Si può generalizzare quanto appena fatto agli incrementi lungo una qualsiasi direzione? La risposta è ovviamente affermativa.

      Consideriamo una direzione (cioè, un vettore)  = (₁, ₂) diversa da (0, 0) e il seguente rapporto incrementale:

se tale limite esiste finito, denoteremo tale valore con quello che viene detto derivata direzionale della f rispetto alla direzione .

      Facciamo un po' di osservazioni sui concetti finora illustrati:

• Le derivate parziali sono delle particolari derivate direzionali, rispetto alle direzioni e₁ = (1, 0) ed e₂ = (0, 1).

• Non è assolutamente detto che esistano tutte le derivate direzionali. Per esempio, la funzione f(x, y) = |x| + y in X₀ = (0, 0) ha derivata parziale finita rispetto alla y, ma non rispetto alla x.

• Qualora esista il gradiente (cioè entrambe le derivate parziali), è possibile fornire una rappresentazione delle derivate direzionali in termini del gradiente:

  

  dove con "" abbiamo indicato il prodotto scalare standard in ². Quindi l'esistenza di entrambe le derivate parziali implica l'esistenza di tutte le derivate direzionali.

• Osserviamo che il discorso fatto in precedenza è valido se si considerano due qualsiasi direzioni linearmente indipendenti (anziché le direzioni e₁ ed e₂). Quindi possiamo concludere che se esistono le derivate direzionali rispetto a due direzioni linearmente indipendenti, automaticamente esistono tutte le altre derivate direzionali.

Purtroppo quanto abbiamo appena discusso, non generalizza completamente la nozione di derivabilità in . Infatti, per funzioni di una variabile reale vale l'importantissima proprietà

Nel caso di più variabili, l'esistenza delle derivate parziali (o di tutte le derivate direzionali) non garantisce la continuità della funzione nel punto. Per esempio, si può considerare la funzione:

dove

Si dimostra che per ogni (cioè esistono tutte le derivate direzionali nell'origine), ma la funzione è chiaramente discontinua in (0, 0).

      Qual è il motivo di questa "incongruenza"? In realtà non si tratta di una vera e propria incongruenza: il fatto è che per funzioni dipendenti da una singola variabile reale, due importanti concetti vengono a coincidere: quelli di derivabilità e differenziabilità (questo fa sì che in tale contesto vengano spesso usati come sinonimi!). È solo in dimensione maggiore che ci si rende conto della differenza fra questi due concetti. Diamo quindi la definizione di differenziabilità (in realtà si può dare in maniera molto più generale):

      Una funzione f si dice differenziabile in (x₀, y₀) se esistono le derivate parziali in (x₀, y₀) e

Osserviamo che nel caso di una singola variabile reale questa definizione è equivalente a quella di derivabilità (il ruolo di è svolto da f'(x₀)).

      È questa nuova definizione quella che ci interessa; infatti valgono le seguenti proprietà:

• Differenziabilità ==> continuità.
• Differenziabilità ==> esistenza di tutte le derivate direzionali.
• Esistenza delle derivate parziali e loro continuità ==> differenziabilità.

(tali implicazioni non si invertono, come si mostra abbastanza facilmente trovando dei controesempi).