17-05-2003 per
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Vorrei avere spiegazioni sul significato del vettore gradiente e della derivata
direzionale per funzioni di due variabili e sul modo di calcolarli.
Vogliamo cercare di estendere il concetto di derivata (visto nel caso di funzioni a variabile reale), al caso di funzioni in più variabili. Vediamo come sia possibile far ciò, proprio partendo dalle nozioni note nel caso di funzioni dipendenti da una singola variabile. Sia A un aperto di 2 e sia f : A --> una funzione; fissiamo un punto X0 = (x0, y0) in A e definiamo la nuova funzione f0(x) :=f(x, y0), ottenuta considerando la funzione f ristretta alla retta {y = y0}. Questa nuova funzione è una funzione dipendente da una singola variabile (la x) e quindi possiamo calcolare (se esiste) il limite del suo rapporto incrementale: se tale limite esiste finito, lo denoteremo con , che chiameremo derivata parziale della f rispetto alla x (in realtà le notazioni presenti nei vari testi sono le più varie: f, fx, ...). In altre parole, quello che abbiamo fatto è stato considerare gli incrementi della f per piccole variazioni del suo argomento lungo la direzione dell'asse delle x. In maniera completamente analoga si definisce la derivata parziale rispetto alla y. Questa definizione ci fornisce anche un metodo per calcolare le derivate parziali (al di là del calcolo del limite del rapporto incrementale): basta considerare una variabile come "parametro" fissato ed applicare tutte le regole note per il calcolo delle derivate di funzioni dipendenti da una sola variabile reale. Inoltre, si definisce il vettore gradiente, il vettore le cui componenti sono rappresentate proprio dalle derivate parziali: (anche in questo caso la notazione varia da testo a testo). Ma perché limitarci a considerare gli incrementi lungo l'asse delle x o delle y? Si può generalizzare quanto appena fatto agli incrementi lungo una qualsiasi direzione? La risposta è ovviamente affermativa. Consideriamo una direzione (cioè, un vettore) = (1, 2) diversa da (0, 0) e il seguente rapporto incrementale: se tale limite esiste finito, denoteremo tale valore con quello che viene detto derivata direzionale della f rispetto alla direzione . Facciamo un po' di osservazioni sui concetti finora illustrati:
Purtroppo quanto abbiamo appena discusso, non generalizza completamente la nozione di derivabilità in . Infatti, per funzioni di una variabile reale vale l'importantissima proprietà Nel caso di più variabili, l'esistenza delle derivate parziali (o di tutte le derivate direzionali) non garantisce la continuità della funzione nel punto. Per esempio, si può considerare la funzione: dove Si dimostra che per ogni (cioè esistono tutte le derivate direzionali nell'origine), ma la funzione è chiaramente discontinua in (0, 0). Qual è il motivo di questa "incongruenza"? In realtà non si tratta di una vera e propria incongruenza: il fatto è che per funzioni dipendenti da una singola variabile reale, due importanti concetti vengono a coincidere: quelli di derivabilità e differenziabilità (questo fa sì che in tale contesto vengano spesso usati come sinonimi!). È solo in dimensione maggiore che ci si rende conto della differenza fra questi due concetti. Diamo quindi la definizione di differenziabilità (in realtà si può dare in maniera molto più generale): Una funzione f si dice differenziabile in (x0, y0) se esistono le derivate parziali in (x0, y0) e Osserviamo che nel caso di una singola variabile reale questa definizione è equivalente a quella di derivabilità (il ruolo di è svolto da f'(x0)). È questa nuova definizione quella che ci interessa; infatti valgono le seguenti proprietà:
(tali implicazioni non si invertono, come si mostra abbastanza facilmente trovando dei controesempi). |