Stefania chiede:
Con quale criterio si ricavano le formule per il calcolo
del centro e del
raggio di curvatura in un punto di una curva?
(risponde Carlo Consoli)
Il raggio di curvatura di una curva
nel piano/spazio in un punto è definito come il raggio della circonferenza,
detta cerchio osculatore, che meglio approssima la curva in quel
punto.
Per comprendere questo concetto con
un esempio visivo, si immagini di percorrere con un’auto abbastanza veloce
(e qui si aggiunga pure il lusso che si vuole) un tratto di strada in
montagna, e si osservi la figura 1:
Fig
1: curva nel piano, vettori tangente, normale e cerchio osculatore in
un suo punto P
la curva a nel piano tracciata in rosso rappresenta la strada che si sta percorrendo,
il vettore T nel punto P, rappresenta la direzione della
velocità del veicolo ed è detto tangente.
Ma cosa succede quando corriamo in curva
con il nostro bel bolide fiammante? Avvertiamo distintamente un’accelerazione
verso l’esterno della curva, a cui corrisponde un’accelerazione di verso
contrario applicata ai pneumatici, detta accelerazione centripeta.
Quest’accelerazione è provocata dalla forma della strada, dalla velocità
del veicolo e dalla tenuta di strada dei pneumatici ed è tanto più intensa
quanto più veloce percorriamo il tratto di curva. Il vettore N,
quindi, rappresenta la direzione dell’accelerazione centripeta.
Il cerchio osculatore è la circonferenza
tracciata in blu di figura 1, la migliore approssimazione della curva
nel punto P, ed il raggio r è detto raggio di curvatura
della curva a.
Raggio di curvatura ed accelerazione
centripeta sono in relazione inversamente proporzionale, vale a
dire che tanto minore è il raggio di curvatura e tanto più intensa è l’accelerazione
centripeta, e viceversa.
La strumentazione del nostro bolide
è in grado di fornire, col tachimetro, la velocità v del veicolo;
se avessimo a disposizione un sensore in grado di determinare l’accelerazione
centripeta del veicolo ac, ad esempio mediante un pendolo
con filo a piombo, potremmo calcolare il raggio di curvatura della strada
mediante la [1]
[1]
da cui otterremmo r=v2/ac.
Nell’esempio mostrato, abbiamo introdotto
delle misure fisiche (accelerazione, velocità) per determinare il raggio
di curvatura. Ovviamente, esiste una metodologia più generale, che dobbiamo
alla geometria differenziale, per calcolare parametri caratteristici
di forma di curve e superfici nello spazio.
Il resto di questo articolo introduce
il calcolo dei coefficienti di curvatura e torsione per curve tridimensionali,
esponendo essenzialmente la metodologia e presentando i risultati principali.
I risultati proposti sono il frutto di una trattazione piuttosto complessa,
che non trova completo spazio in questa sede. L’autore resta a disposizione
per ulteriori chiarimenti in merito.
Si presuppone una conoscenza apriori
di:
¨
calcolo vettoriale
¨
calcolo delle derivate
Introduciamo brevemente la notazione
standard utilizzata: siano x=(x1(t),...,x3(t)),
y=(y1(t),...,y3(t)) vettori tridimensionali,
diciamo
¨
norma di x:
¨
prodotto vettoriale di x, y: ove i, j, k siano i tre versori delle coordinate cartesiane
tridimensionali
¨
prodotto scalare di x, y:
¨
derivata prima, seconda e terza di x:
¨
x è detto unitario se ||x|| = 1
Si consideri ora una curva nello spazio
tridimensionale, espressa in funzione di un parametro t
come ad esempio l’elica cilindrica di
Fig. 2
Fig
2: Elica cilindrica, vettori tangente, normale e binormale
determinata dall’equazione parametrica
a(t) = (sin(t), cos(t), t/8).
I vettori mostrati T, N, B in
Fig. 2 sono detti, rispettivamente tangente, normale e binormale,
ove il vettore tangente è congruente con la direzione del vettore velocità
della curva a ed il vettore normale è ortogonale
ad esso e punta in direzione del centro di curvatura di a. Il terzo vettore, B, indica la direzione ortogonale alle altre
due, per questo è definito binormale, ed indica la direzione di
torsione di a, cioè la
direzione verso cui la curva tende a cambiare piano di appartenenza.
Si immagini ora di costruire i campi
vettoriali, T, N, B dei vettori (di lunghezza 1) tangenti,
normali e binormali a tutti i punti della curva a. Vogliamo qui definire le caratteristiche di forma spaziali di una
curva in termini dei campi vettoriali tangente, normale e binormale T,
N, B e dei valori di curvatura e torsione k e
t, rispettivamente.
Nel caso bidimensionale abbiamo visto
che la curvatura dipende dalla velocità di percorrimento della curva,
ma che significato ha parlare di velocità della curva a? Derivando la curva a rispetto
al parametro t, otteniamo proprio il suo vettore velocità e l’intensità
della velocità della curva è una funzione v del parametro t
pari alla norma del vettore velocità
[2]
Ad esempio, la velocità della curva
di Fig. 2 ha un valore costante per ogni t, infatti:
curve di questo genere vengono dette
a velocità costante.
E’ nostro interesse determinare T,
N, B unitari per applicarli come sistema di versori rispetto a cui
le coordinate siano espresse unicamente in funzione della velocità della
curva, della curvatura e della torsione.
Abbiamo detto che a’ esprime un campo tangente alla curva
a, la cui intensità è pari a v, la velocità della curva in ogni
punto. Il nostro scopo è, però, determinare T campo vettoriale
unitario ma, per questo, è sufficiente normalizzare:
[3]
e, sfruttando la [2] otteniamo
a‘ = vT [4]
Il parametro k, o curvatura,
è definito nel modo seguente:
T’=kvN [5]
la dimostrazione della [5] è dovuta
a Frenet.
Il legame tra curvatura e le derivate
successive di a si ottiene dal prodotto vettoriale tra
le derivate prima e seconda di a:
[6]
ottenuta applicando la [5] ed osservando
che il prodotto vettoriale di un vettore per se stesso è sempre nullo
(TxT=0) ed il campo vettoriale binormale è proprio definito come
prodotto vettoriale degli altri due (TxN=B)
Calcoliamo ora la norma della [6]:
[7]
poiché B è unitario (||B||=1).
Otteniamo quindi l’espressione della curvatura k:
[8]
e, dalla [6] del campo vettoriale binormale:
[9]
e di quello normale, come prodotto vettoriale
degli altri due:
[10]
Per quanto riguarda l’espressione della
torsione, se ne omette la dimostrazione (perché artificiosa, ma senza
difficoltà concettuali)
[11]
Infine, si dimostra che la relazione
tra raggio di curvatura r e coefficiente di curvatura k
è
[12]
relazione che consente di scrivere l’equazione
della curva passante per i centri di curvatura
[13]
Applichiamo ora le formule viste nel
caso della spirale cilindrica di Fig. 2:
da cui otteniamo la curvatura
e la torsione
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