27-11-2002

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Il dilemma di Pietroburgo. Nel 1995 una spedizione di studenti di informatica di Verona si è recata a San Pietroburgo per studiare la lingua russa e, durante le tre settimane di corso, sono stati celebrati ben tre compleanni in un solo giorno. Conoscevamo il ben noto paradosso dei compleanni secondo il quale la probabilità di coincidenza dei compleanni nell'arco di un anno in un gruppo di persone è controintuitivamente alto (70% in un gruppo di trenta persone) e anche la formula per calcolare tale probabilità. Non contenti, abbiamo però cercato di generalizzare la formula aggiungendo il requisito che la coincidenza avvenga all'interno di una particolare finestra di date. Putroppo, con nostra sorpresa, nessuna delle ipotesi fatte è risultata in accordo con le simulazioni iterative/numeriche fatte al computer.
      Dato un gruppo di p persone, qual'è la probabilità che siano celebrati almeno due compleanni in almeno uno dei g giorni di un periodo arbitrario (non necessariamente consecutivi, anche perché non dovrebbe cambiare nulla dal punto di vista del calcolo delle probabilità), con le ipotesi semplificanti che i compleanni siano equiprobabili (P(x) = 1 / 365) e che non ci si trovi in un anno bisestile?

(risponde Gino Favero)

Il problema alla base della domanda, quello cioè della probabilità che almeno due in un gruppo di persone festeggino il compleanno lo stesso giorno, è un'applicazione classica della formula della probabilità di eventi indipendenti. Tale formula è già stata esposta in una precedente risposta di Carlo Consoli in questa stessa sezione, oltre che nella pagina citata nella domanda (che però è decisamente per persone più "addette ai lavori").

      In analogia e a completamento di quanto esposto nella risposta citata, possiamo calcolare la probabilità P₁(p) che due persone in un gruppo di p compiano gli anni lo stesso giorno cercando la probabliltà che ciò non accada. Ragioniamo quindi in questo modo: indipendentemente dalla data del compleanno della prima persona, ci sono 364 casi su 365 in cui il secondo compie gli anni in un giorno diverso; ancora indipendentemente, poi, ci sono 363 casi su 365 in cui il terzo compie gli anni in un giorno diverso da entrambi i precedenti, e così via. La probabilità che i compleanni cadano in date tutte diverse è quindi

Calcolando esplicitamente tale valore (ad esempio) per p = 30, si trova proprio che la probabilità di avere almeno due compleanni coincidenti in un gruppo di trenta persone è pari circa al 70.63%.

      Allo stesso risultato si può tuttavia arrivare, come sempre, contando il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili. Le possibili disposizioni di p date su 365 sono infatti 365^p, mentre quelle senza ripetizioni sono

365 (365 - 1)      (365 - p + 1)  = 

ricordando allora che la probabilità di un evento, in ipotesi di equiprobabilità, è pari al rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, si ritrova la formula vista sopra. Si noti che procedendo in questo modo abbiamo tenuto conto dell'ordine in cui le varie date vengono "sorteggiate"; avremmo potuto anche non tenerne conto ma questo avrebbe voluto dire dividere per p! sia il numero dei casi favorevoli sia il numero dei casi possibili e, quindi, avrebbe portato ancora una volta allo stesso risultato.

      Il metodo del conteggio dei casi favorevoli, che come si è visto non è indispensabile per calcolare la probabilità di avere almeno due compleanni coincidenti, può diventare invece molto utile in casi complicati come quello che stiamo esaminando. Cerchiamo allora di ricalcolare la probabilità di avere almeno due compleanni coincidenti cercando di ragionare sulle estrazioni di p date e trascurando l'ordine di estrazione. Di qui in avanti indicherò con a il numero di giorni di un anno: oltre a rendere un po' più leggibili le notazioni, almeno a mio parere, tale scelta permette di applicare la formula che otterremo sia agli anni non bisestili con a = 365 sia a quelli bisestili con a = 366. Il numero totale di estrazioni possibili (eliminando l'effetto dell'ordine) è così a^p / p! e quello di estrazioni senza ripetizioni è

Per contare il numero di estrazioni con una (e una sola) ripetizione ragioniamo così: ci sono a possibili scelte per le due date uguali, dopo di che tutte le altre p - 2 devono essere diverse da questa, cioè costituire un sottoinsieme senza ripetizioni tratto da un insieme di a - 1 elementi. È inoltre abbastanza immediato capire che ogni estrazione costruita in questo modo è diversa da tutte le altre, cioè che non stiamo "contando due volte" la stessa estrazione: il numero da noi cercato è allora

La questione si complica quando si cerca di calcolare il numero di estrazioni con più ripetizioni. Consideriamo, per esempio, il caso in cui quattro date sono uguali a due a due. Dobbiamo allora scegliere un qualsiasi sottoinsieme di 2 elementi (le date che si ripeteranno) e assegnare le altre p - 4 date in modo che formino un sottoinsieme senza ripetizioni delle rimanenti a - 2 date. Anche contando in questo modo stiamo considerando una sola volta tutti i casi possibili, per cui il numero di estrazioni con due date "doppie" è

Contiamo adesso il numero di estrazioni in cui la ripetizione oppure le due ripetizioni si trovano in un qualsiasi sottoinsieme di date formato da g elementi. È abbastanza facile capire che nel caso di ripetizione singola basta scegliere le due date uguali in g possibili modi e le altre p - 2 in modo che formino un sottoinsieme senza ripetizioni tratto da un insieme di a - 1 elementi: il numero di estrazioni con una ripetizione all'interno del sottoinsieme che ci interessa è quindi

Nel caso di due ripetizioni doppie bisogna essere molto cauti: infatti, non è necessario che entrambe le date ripetute cadano nel sottoinsieme che ci interessa. Il numero di casi favorevoli in questa situazione si calcola allora considerando g scelte per la prima data e a - 1 scelte per la seconda, assegnando poi le altre p - 4 date in modo che formino un sottoinsieme senza ripetizioni delle rimanenti a - 2 date. Attenzione ancora, però: in questo modo stiamo contando due volte le estrazioni in cui entrambe le date ripetute cadono effettivamente nel sottoinsieme in esame e quindi dovremo sottrarre tale numero dal conto. Otteniamo dunque che il numero di estrazioni favorevoli è

Calcoliamo finalmente le probabilità condizionate che ci interessano. Data la presenza di una singola ripetizione, la probabilità che essa avvenga all'interno del sottoinsieme di date in considerazione è

come l'intuizione potrebbe in effetti suggerire in un primo momento. Nel caso più complicato, però, si ha una probabilità condizionata pari a

che è strettamente maggiore di g / a e addirittura (anche se forse in un primo momento questo potrebbe fare violentemente a pugni con la stessa intuizione di cui sopra) è tanto più distante da g / a quanto più g è piccolo. Questo dipende però dal fatto che la probabilità che almeno una di due date casuali cada un in certo sottoinsieme è molto maggiore della probabilità che ci cada una singola data.

Credo che gli esempi visti fin qui possano essere sufficienti per concludere che la probabilità che in un gruppo di p persone si celebrino (almeno) due compleanni all'interno di un periodo di g giorni è strettamente maggiore di g / a volte la probabilità che all'interno di un gruppo di p persone vi siano (almeno) due compleanni coincidenti. Per confermare questa impressione, ho condotto una simulazione iterativa della situazione di un gruppo di 30 persone, approssimando numericamente la probabilità di avere due (o più) compleanni sia senza condizioni sulla data sia a condizione che tale coincidenza avvenga entro un periodo di 36 giorni (approssimativamente pari a un decimo della durata dell'intero anno). Le frequenze delle coincidenze ottenute sono tra il 70.34% e il 70.96% nel primo caso (si ricordi che il valore teorico è circa del 70.63%) e tra il 10.56% e il 10.81% nel secondo caso, quindi notevolmente superiore a un decimo della probabilità "non vincolata".

      Penso che si sia anche capito, vista la strada da seguire per calcolare tale probabilità, che non è sperabile di ottenere una formula generale esplicita semplice e compatta come quella vista sopra per il caso non vincolato: la probabilità cercata va calcolata caso per caso a seconda del numero di persone che compongono il gruppo esaminato.