In rete è possibile reperire una grande quantità di materiale sull'algoritmo di Bairstow. In questa sede commentiamo il paragrafo "Real and Complex Roots of Polynomials", dagli appunti del corso di Metodi Numerici (formato Word, circa 900 kB) di un'università californiana, in cui è possibile trovare anche esempi applicativi in MatLab.

      Sia f(x) = a₀xⁿ + ... + a_n-1x + a_n un polinomio di grado n. L'algoritmo numerico di ricerca delle radici di polinomi di Bairstow è basato sul seguente metodo. Dato un polinomio quadratico q(x) = x² + ux + v (dove i coefficienti u e v sono scelti opportunamente, come diremo poi), esistono due polinomi f' e r tali che

f(x) = q(x)f'(x) + r(x).

Il polinomio f'(x) è di grado n - 2 e il resto r(x) è di grado 1, cioè una funzione lineare. Nel caso in cui r(x) = 0, si avrebbe che f(x) è un polinomio che ha due radici in comune con q(x).

      Scrivendo il resto r(x) nella forma b_n-1(x + u) + b_n, e il polinomio f'(x) = b₀x^n-2 + ... + b_n-3x + b_n-2 si ottiene una riscrittura di f(x) nei seguenti termini:

a₀xⁿ + ... + a_n-1x + a_n = (b₀x^n-2 + ... + b_n-3x + b_n-2)(x² + ux + v) + b_n-1(x + u) + b_n;

i due polinomi, per essere uguali, devono avere gli stessi coefficienti per uguali potenze di x. Questo fatto definisce la relazione di ricorrenza:

b_i = a_i - b_i-1u - b_i-2v     (i = 2, 3, ..., n)         [1]

ove b₀ = a₀ e b₁ = a₁ - b₀u.

      Il problema principale del metodo di Bairstow è scegliere i fattori u e v in modo tale che il resto r(x) sia nullo, ovvero che b_n-1 e b_n siano identicamente nulli. Ciò comporta la necessità di risolvere il sistema, ottenuto dalla equazione alla ricorrenze di cui sopra,

Le radici del sistema possono essere ottenute mediante il metodo di Raphson-Newton per la ricerca di radici di polinomi lineari (u e v appaiono infatti di primo grado nella equazione alle ricorrenze). A partire da stime iniziali di u e v è possibile determinare piccoli incrementi u, v che risolvano il sistema [2], i.e.:

bn-1(u + u, v + v) = 0	[3]
bn(u + u, v + v) = 0

il metodo di Raphson-Newton prevede l'espansione della [3] in serie di Taylor bidimensionale in u e v. Per ottenere una precisione sufficiente, nella serie di Taylor ci si arresta al termine lineare:

    (i = n - 1, n)         [4]

L'equazione alle ricorrenze [1] è ovviamente valida anche per calcolare le derivate parziali della [4]. Ciò consente di riscrivere la [4] applicando al posto delle derivate parziali dei coefficienti numerici (vedi testo di riferimento per i dettagli) rispetto a cui è possibile risolvere il sistema [4], calcolare le derivate parziali e, quindi gli incrementi u, v. Si osservi che il sistema [4] dipende dalle stime correnti dei valori u, v.

      L'algoritmo procede quindi iterativamente nel modo seguente:

1. Si scelgono u, v come valori iniziali.

2. Si risolve il sistema [4] e si calcolano i valori corrispondenti di u, v utilizzando il valore corrente di u, v. Se u, v sono prossimi allo zero, l'algoritmo termina. La precisione delle radici trovate è strettamente correlata alla condizione di arresto dell'algoritmo.

3. Si impostano u = u + u e v = v + v e si re-itera dal passo 1.

Al termine delle iterazioni, il sistema [3] è soddisfatto e sono determinati i valori dei coefficienti u, v per cui il resto r(x) è nullo. A questo punto le due radici del polinomio q(x) = x² + ux + v sono in comune con il polinomio f(x). Reiterando il processo per il polinomio f'(x) si trovano a due a due tutte le radici di f(x) cercate.

      Il metodo di Bairstow, essendo basato sull'algoritmo di Raphson-Newton, ne eredita le stesse caratteristiche di stabilità e robustezza. La convergenza del metodo non è sempre garantita, per assicurarne il funzionamento, occorre scegliere la coppia u, v in modo accurato.