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Non capisco bene l'equazione di Schr÷dinger in particolare cosa indichi l'operatore hamiltoniano 
(risponde Alberto Guercio) 
 
Spiegare in due parole l’equazione di Schr÷dinger Ŕ veramente un’impresa da titani. Per avere almeno una minima idea di quello di cui si sta parlando Ŕ necessario spendere due parole sulla natura ondulatoria della materia. 

E’ noto che particelle materiali esibiscono proprietÓ di onde. La lunghezza d’onda connessa con una particella Ŕ associabile al suo momento p, cioŔ al prodotto massa*velocitÓ (p=mu), ed Ŕ espressa dalla relazione (essendo h la costante di Planck) 

E’ comprensibile che un discorso del genere possa lasciare disorientati. Come pu˛ un elettrone (o un fotone) essere contemporaneamente sia un’onda che una particella? Il fatto Ŕ che probabilmente essi non sono nessuna delle due cose. Semplicemente si comportano come onde in determinate condizioni e come particelle in altre. La cosa importante Ŕ per˛ che il loro comportamento pu˛ in ogni caso essere descritto in termini di una funzione d’onda  . Ragionare in termini di funzioni d’onda Ŕ dunque il modo pi¨ soddisfacente per descrivere sistemi di questo tipo. 

Vediamo di che si tratta. 

Scriviamo l’equazione di un’onda armonica che si propaga in direzione degli x positivi con velocitÓ u. Essa, nel punto x e al tempo t, Ŕ data da 

 

[tenendo presente che exp(ix) = cosx + i senx]

Si pu˛ facilmente verificare che un’onda di questo genere Ŕ periodica nel tempo (con periodo ) e nello spazio (con periodo ). CioŔ aumentando t di T o x di  sia che le sue derivate rimangono invariate. Inoltre, dato che l’esponenziale, in valore assoluto, non pu˛ mai superare il valore di 1, l’oscillazione avviene al massimo tra +A e -A. Il parametro A Ŕ dunque l’ampiezza dell’onda. 

Importante Ŕ anche il teorema di Fourier. Esso dice che un’onda di una determinata frequenza pu˛ essere ricostruita dalla combinazione di un pacchetto di onde a frequenza variabile e di adatta ampiezza 

  
In generale per rappresentare una particella in movimento sarÓ necessario costruire un’onda localizzata. Un tale tipo di onda pu˛ essere costruita scegliendo opportunamente il pacchetto d’onde in modo che esse interferiscano costruttivamente in un punto e distruttivamente in tutti gli altri. Il pacchetto d’onde in questione sarÓ caratterizzato da un range molto stretto di numeri d’onda e quindi pu˛ essere virtualmente considerato omogeneo in frequenza. 

Supponiamo ora che un elettrone libero che viaggia in direzione degli x positivi con momento p = mu ed energia cinetica

 

sia rappresentato dalla funzione 

 

Operando le opportune sostituzioni ed essendo 

si pu˛ arrivare a verificare che la funzione d’onda  descritta sopra Ŕ soluzione dell’equazione differenziale

 

Questa Ŕ l’equazione di Schr÷dinger per un elettrone libero che si muove in uno spazio monodimensionale. L’estensione al caso tridimensionale Ŕ immediata se si esprime l’energia come

 

  

o, con la usuale simbologia   

  

Fin qui abbiamo parlato di una particella libera. 

Diverso Ŕ per˛ il caso di una particella che si muove sotto l’influenza di un campo esterno. Nell’energia sarÓ necessario introdurre un termine energia potenziale assunto dipendente solo dalle coordinate. Si avrÓ dunque che

  

e quindi

 

Se a questo punto definiamo l’operatore Hamiltoniano H come 

possiamo scrivere che  

In pratica l’operatore Hamiltoniano Ŕ un operatore che, applicato ad una generica , ne restituisce una derivata seconda rispetto alle coordinate spaziali sommata del valore di stessa moltiplicata per il potenziale. 

Questa Ŕ l’equazione di Schr÷dinger dipendente dal tempo per una particella di energia potenziale potenziale V(x,y,z) che si muove tridimensionalmente. Tale equazione, cosý costruita, ha la caratteristica di essere lineare; cioŔ se ammette una soluzione  ammette anche una soluzione , ove c Ŕ una costante arbitraria diversa da zero. 

Inoltre la funzione ||2 ha la caratteristica di rappresentare la probabilitÓ di trovare la particella in un determinato elemento di volume dxdydz al tempo t. Dato che la probabilitÓ di trovare la particella in qualsiasi parte dello spazio al tempo t deve essere unitaria, Ŕ necessario che l’integrale di ||2 su tutto lo spazio dia 1. Una funzione  che corrisponda a questa caratteristica si dice normalizzata. 

In molti casi particolari Ŕ possibile scindere la funzione d’onda  in una parte f dipendente dal tempo e in una parte dipendente dalle coordinate. 

dove si ha che 

(equazione di Schr÷dinger indipendente dal tempo)

 

Questi casi particolari giocano un ruolo fondamentale nello sviluppo delle teorie sulle strutture atomiche in quanto descrivono gli stati stazionari nei quali la dipendenza dal tempo influenza solamente la fase. 

Ma torniamo all’operatore Hamiltoniano. 

Fino ad ora si Ŕ discusso sull’equazione di Schr÷dinger. Si Ŕ detto che l’equazione di Schr÷dinger Ŕ una equazione differenziale le cui soluzioni descrivono nel tempo e nello spazio "entitÓ" in movimento quali possono ad esempio essere gli elettroni di un atomo. Risolvere tale equazione, ove sia possibile, permette di risalire alle mappe di densitÓ elettronica che descrivono la probabilitÓ di trovare gli elettroni in determinati punti dello spazio. 

L’equazione di Schr÷dinger Ŕ una equazione agli autovalori. Cosa significa? 

Una generica equazione agli autovalori 

[dove O Ŕ per esempio l’operatore a (d/dx2) + b (d/dx) + c]

assume soluzioni di una data classe (importanti sono quelle continue, normalizzabili, ed a valor singolo) solo quando il parametro E assume certi specifici valori numerici. Tali valori numerici sono detti autovalori mentre le corrispondenti soluzioni sono le autofunzioni dell’operatore O

Supponiamo di disporre di una terna di autofunzioni aventi autovalore E ed appartenenti alla classe descritta sopra. Allora anche una qualsiasi loro combinazione lineare sarÓ una autofunzione appartenente alla medesima classe ed avente autovalore E. Questa regola Ŕ quella che definisce uno spazio vettoriale. In generale in uno spazio ad n dimensioni il numero massimo di vettori linearmente indipendenti Ŕ n e quindi qualsiasi vettore sarÓ sempre ottenibile da una combinazione lineare di n vettori. Al tendere di n all’infinito si ottiene uno spazio infinito-dimensionale che Ŕ detto spazio di Hilbert. Qualsiasi spazio finito ottenibile per esempio dalle autofunzioni di un operatore con autovalore E Ŕ dunque un sottospazio dello spazio di Hilbert. 

Ecco allora che sulla base di quanto detto possiamo riassumere che l’equazione di Schr÷dinger Ŕ una equazione agli autovalori, che consente dunque soluzioni della stessa classe solo in corrispondenza di determinati valori dell’autofunzione E

In particolare perchÚ le soluzioni siano utilizzabili ai fini di una rappresentazione atomica Ŕ necessario che esse siano normalizzabili, continue ed a valor singolo. Soluzioni di questo tipo sono ottenibili solo in corrispondenza di determinati valori di E, ciascuno dei quali rappresenta l’energia complessiva del sistema in una determinata configurazione. 

Detta in termini molto semplificati si pu˛ dire quindi che per ciascun livello di energia (per ciascun autovalore E) l’operatore Hamiltoniano Ŕ quell’operatore che fornisce una serie di autofunzioni (che sono quindi soluzioni dell’equazione) che rappresentano la popolazione elettronica corrispondente a quella energia. 

Per concludere bisogna tuttavia dire che nella pratica una soluzione dell’equazione di Schr÷dinger Ŕ possibile solo in casi semplici, mentre nella maggior parte dei casi si fa ricorso a soluzioni che sono frutto di innumerevoli compromessi e semplificazioni. Solo col continuo progredire degli strumenti di calcolo sarÓ possibile estendere la risoluzione rigorosa a casi sempre pi¨ complessi.