Il problema di Keplero

Il problema di Keplero

Per inquadrare il problema che dovette affrontare Keplero, riportiamo di seguito un brano tratto dall'opera "Come io vedo il mondo" di A. Einstein (i corsivi sono nostri).

"Copernico aveva attirato l'attenzione delle menti più elette sul fatto che si poteva avere la nozione chiara del movimento apparente dei pianeti considerando questi moti come rivoluzioni intorno al sole supposto immobile. Se il moto di un pianeta era un moto circolare uniforme intorno al sole come centro, sarebbe stato relativamente facile stabilire quale doveva essere l'aspetto di quei movimenti visti dalla terra. Ma siccome esso si manifestava con fenomeni molto più complessi, il lavoro era assai più difficile. Bisognava determinare questi movimenti dapprima empiricamente secondo le osservazioni di Tycho Brahe sui pianeti. Soltanto in seguito si poteva pensare a trovare le leggi generali alle quali questi movimenti ubbidiscono.
Per capire quanto fosse difficile il compito di determinare il movimento reale di rotazione bisogna comprendere quel che segue. Non si vede mai dove si trova realmente un pianeta in un determinato momento; si vede soltanto in quale direzione esso è visto dalla Terra la quale descrive, essa stessa, una curva di natura sconosciuta intorno al Sole. Le difficoltà parevano dunque insormontabili.
Kepler trovò un mezzo per mettere ordine in questo caos. Prima di tutto egli riconobbe la necessità di determinare il movimento della Terra. Ciò sarebbe stato semplicemente impossibile se non ci fossero stati che il Sole, la Terra e le Stelle fisse senza alcun altro pianeta. Non si poteva in questo caso determinare null'altro che la variazione nel corso dell'anno della linea retta Terra-Sole (movimento apparente del Sole in rapporto alle Stelle fisse). Si poteva così conoscere che tutte queste direzioni si trovavano in rapporto alle Stelle fisse, almeno per quanto lo consentivano le imprecise osservazioni dell'epoca fatte senza telescopio. Bisognava anche determinare, allo stesso modo, come la linea Terra-Sole ruota intorno al Sole e si constatava che la velocità angolare di questo movimento si modifica regolarmente nel corso dell'anno. Ma questo non poteva ancora essere di molto aiuto poiché non si conosceva la variazione annuale della distanza Terra-Sole. Soltanto quando fossero conosciute le modifiche annuali di questa distanza sarebbe stato possibile tracciare la giusta traiettoria della Terra e determinare la legge.
Kepler trovò un mezzo ammirevole per uscire da questo dilemma. Anzitutto risultava dalle osservazioni solari che la velocità del percorso apparente del Sole sullo sfondo delle Stelle fisse era diversa nelle varie epoche dell'anno, ma che la velocità angolare di questo moto era sempre uguale nella stessa epoca dell'anno astronomico e di conseguenza la velocità di rotazione della linea Terra-Sole esaminata in rapporto alla medesima regione delle Stelle fisse, aveva sempre lo stesso valore. Si poteva dunque ammettere che l'orbita della Terra si richiudeva su se stessa e che la Terra la percorreva ogni anno nello stesso modo. Fatto per nulla evidente a priori. I seguaci di Copernico erano dunque certi che questo procedimento poteva applicarsi anche alle orbite degli altri pianeti.
Questo costituiva già un miglioramento. Ma come determinare la vera forma dell'orbita terrestre? Ammettiamo, in qualche punto del piano di quest'orbita, la presenza di una potente lanterna M: sappiamo che essa è fissa, che costituisce quindi per la determinazione dell'orbita terrestre una specie di punto fisso di triangolazione sul quale gli abitanti della Terra possono puntare in ogni epoca dell'anno. Ammettiamo inoltre che questa lanterna sia a maggior distanza dalla Terra. Ecco come, con l'aiuto di questa lanterna, si può determinare l'orbita terrestre.
Anzitutto c'è ogni anno un momento in cui la terra T si trova esattamente sulla linea che congiunge il Sole S alla lanterna M; se in questo momento si punta dalla Terra sulla lanterna, la direzione così ottenuta è anche la direzione SM (sole-lanterna).
Ammettiamo che questa direzione sia tracciata nel cielo. Prendiamo ora un'altra posizione della Terra in un altro momento. Poiché dalla Terra si può osservare egualmente bene il Sole e la lanterna, l'angolo T del triangolo STM è conosciuto. D'altra parte un'osservazione diretta del Sole dà la direzione ST e in precedenza si è determinato una volta per tutte la direzione SM sullo sfondo delle Stelle fisse. Si conosce anche l'angolo in S. Scegliendo a volontà una base SM, si può dunque tracciare sulla carta il triangolo STM. Si faccia questa costruzione parecchie volte durante l'anno e si otterrà ogni volta sulla carta un punto per la terra T in rapporto alla base SM definita una volta per tutte, corrispondente a una data stabilita. L'orbita terrestre sarebbe così determinata empiricamente, a parte, ben inteso, la sua dimensione assoluta.
Ma, voi direte, dove ha preso Kepler la lanterna M? I1 suo genio, aiutato in questo caso dalla natura benigna, gliel'ha fatta trovare. C'era, per esempio, il pianeta Marte, di cui si conosceva la rivoluzione annuale, cioè il tempo che questo pianeta impiega per fare un giro intorno al Sole. Può succedere che il Sole, la Terra e Marte a un dato momento si trovino esattamente in linea retta, e questa posizione di Marte si ripeta ogni volta in capo a uno, due, ecc. anni marziani, perché Marte percorre una traiettoria chiusa. In questo determinato momento, SM presenta sempre la stessa base, mentre la Terra si trova sempre in un punto diverso dalla sua orbita. Le osservazioni di Marte e del Sole, alle date in questione, forniscono di conseguenza un mezzo per determinare l'orbita terrestre vera, avendo il pianeta Marte, in quei momenti, la parte della lanterna fittizia di poco fa. È in questo momento che Kepler ha trovato la vera forma dell'orbita terrestre e le leggi che la governano: noialtri, venuti più tardi, dobbiamo onorarlo e ammirarlo per questo.
Una volta determinata empiricamente l'orbita terrestre, si conosceva in ogni momento, nella sua vera grandezza e direzione, la linea ST; allora non era più difficile per Kepler, in linea di principio, calcolare, secondo le osservazioni dei pianeti, le orbite e i movimenti di questi: un lavoro immenso, dato lo sviluppo delle matematiche in quell'epoca.
Restava ora la seconda parte, non meno difficile del lavoro che ha riempito la vita di Kepler. Le orbite erano conosciute empiricamente; ma, da questi risultati empirici, bisognava trarre le leggi. Bisognava anzitutto stabilire una ipotesi sulla natura matematica della curva e verificarla per mezzo di enormi calcoli, i cui dati erano già conosciuti; se il risultato non concordava, fare un'altra ipotesi e verificarla di nuovo. Dopo ricerche di cui si intuisce l'immensità, Kepler trovò un risultato concordante: l'orbita è un'ellisse di cui il Sole occupa uno dei fuochi. Egli trovò anche la legge della variazione della velocità sull'orbita, secondo la quale la linea Pianeta-Sole percorre superfici uguali in tempi uguali. Infine Kepler trovò anche che i quadrati dei tempi di rivoluzione sono proporzionali alle terze potenze degli assi maggiori dell'ellisse".