Metodo di Halley: parallasse del Sole, parallasse di Venere e calcolo dell'UA

La distanza angolare tra le due posizioni di Venere rispetto al disco del Sole, come viene misurata da due osservatori A e B, è funzione della differenza tra la parallasse di Venere e quella del Sole. Lo dimostriamo geometricamente, anche qui con le dovute approssimazioni, e giungiamo poi ad una formula che permetta di calcolare la distanza Terra-Sole in funzione di tale differenza.

In questo schema A e B sono i due osservatori terrestri (posti per semplicità agli estremi di un raggio terrestre) e R è la loro distanza in chilometri; p_v è la parallasse di Venere e p_s quella solare, entrambe approssimativamente con base R. Gli angoli a e b rappresentano le distanze angolari tra Venere e il centro del Sole S come vengono osservate rispettivamente da A e da B. Quindi la differenza b-a rappresenta la separazione angolare tra le due posizioni di Venere.

Dimostriamo ora che tale separazione angolare b-a è la differenza tra le due parallassi p_v-p_s :

Consideriamo il triangolo ABV:

p_v+(e₁+a)+(e₂-b)=180°

Consideriamo quindi il triangolo ABS:

p_s +e₁+e₂=180°

Uguagliando i due primi membri si ottiene:

p_v-p_s = b - a

Come dicevamo. (Vedi anche lo schema)

Ricaviamo ora una formula che ci permetta di calcolare la parallasse solare in funzione di questa separazione angolare b-a.

Gli angoli di parallasse sono legati alla base R e alla distanza dal corpo celeste dalle seguenti relazioni trigonometriche:

tg(p_v)= R/D_tv

e

tg(p_s)=R/D_ts dove D_tve D_ts sono rispettivamente le distanze Terra-Venere e Terra-Sole.

Dati i piccoli angoli in gioco, possiamo ulteriormente approssimare nelle forme:

p_v= D/D_tv

e

p_s=R/D_ts

Da queste due uguaglianze che hanno il termine comune R ricaviamo la parallasse di Venere in funzione di quella del Sole:

p_v= p_sxD_ts/D_tv

che, sostituito alla precedente uguaglianza p_v-p_s = b - a, ci fornisce in conclusione le funzione cercata:

p_s =(b-a)xD_tv/D_vs

Il rapporto D_tv/D_vs ci è noto dalla terza legge di Keplero. La distanza Terra-Sole si ottiene quindi da:

D_ts = RxK/(b-a) dove K è il rapporto D_vs/D_tv

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