Metodo di Halley per misurare la distanza Terra-Sole

Il rapporto tra le distanze di un qualsiasi pianeta dal Sole era noto per merito di Keplero. La sua terza legge, infatti, ci permette di costruire un modello proporzionato del Sistema Solare basato sui periodi di rivoluzione dei pianeti. Una conferma dei rapporti di distanze della Terra e di Venere dal Sole la si poteva ottenere anche misurando l'angolo di massima elongazione di Venere, con una semplice costruzione geometrica.

Rimaneva comunque il problema di misurare la distanza "assoluta" della Terra dal Sole e di usarla quindi come unità di base per calcolare tutte le altre distanze assolute.

Edmund Halley ideò un metodo che si basava sul fatto che per osservatori diversi sulla Terra, le corde tracciate da Venere sul disco del Sole appaiono diverse. L'entità della differenza dipende dalla grandezza della Terra, dalla particolare posizione geografica dei due osservatori e dalla scala del sistema solare. I primi due fattori possono considerarsi noti: se si può misurare la differenza tra le corde è possibile allora dedurre il terzo fattore, cioè la scala del sistema solare. Halley propose il metodo per la prima volta nel 1716 e si dedicò ad esso fino alla sua morte (1742) senza poterlo sperimentare personalmente. Noi qui lo esponiamo in una versione molto semplificata e intuitiva, trascurando formule matematiche e molti elementi anche sostanziali. (Vedi anche un approfondimento).

Se due osservatori posti in due località abbastanza lontane A e B osservano simultaneamente lo stesso pianeta, esso apparirà in due posizioni diverse rispetto allo sfondo di stelle (considerate a distanza praticamente infinita). La distanza angolare tra le due posizioni si chiama angolo di parallasse (p_v nel disegno) e dipende sia dalla distanza tra A e B, sia dalla distanza del pianeta dalla Terra. L'angolo di parallasse è tanto più piccolo quando maggiore è la distanza del pianeta dalla Terra. Con un semplice calcolo trigonometrico, conoscendo p_v e la distanza in chilometri AB è possibile ricavare la distanza in chilometri del pianeta dalla Terra.

Anche il Sole ha il suo angolo di parallasse (p_s nel disegno), minore di quello di Venere. Per ovvi motivi, non possiamo confrontare la posizione del Sole rispetto alle stelle di fondo.

Ma al tempo di Halley il problema fondamentale era comunque quello di riuscire ad ottenere due osservazioni simultanee da due posizioni molto lontane: gli orologi meccanici non erano abbastanza precisi per garantire la simultaneità. Egli ideò un metodo che non necessitava di tale simultaneità basandosi sul confronto tra la parallasse di Venere e quella del Sole, un confronto possibile proprio durante i transiti.

Immaginiamo per semplicità che l'osservatore B veda Venere al centro del Sole in B'. Nello stesso istante l'osservatore A lo vende in A'. La differenza angolare tra le due posizioni rispetto al disco del Sole è uguale alla differenza tra le due parallassi p_v - p_s. Senza altri dati e non potendo confrontare le posizioni apparenti dei due corpi celesti rispetto allo sfondo stellato, la misura della differenza di parallasse risulterebbe inutile ai fini del calcolo delle distanze assolute perché non ci permetterebbe di determinare i valori delle singole parallassi. Halley ci fornisce invece la soluzione: il rapporto tra le singole parallassi corrisponde a un rapporto tra le distanze dei tre corpi celesti. E qui entra in gioco Keplero: la sua terza legge, che lega i periodi di rivoluzione con le distanze medie dal Sole, ci permette di conoscere proprio questo rapporto. Dunque è possibile calcolare i valori delle singole parallassi e, di conseguenza, le distanze assolute cercate.

A questo punto rimaneva solo il problema della simultaneità. Anche qui il metodo di Halley fornisce la scorciatoia per evitare tale ostacolo.
Nel disegno a fianco, si nota che la differenza di parallasse corrisponde alla distanza angolare tra la corda percorsa da Venere per l'osservatore B (nel nostro caso essa è un diametro) e la corda osservata da A. Se le due corde sono diverse, diversa sarà la durata del transito, e conoscendo la velocità angolare del pianeta rispetto al Sole è facile calcolare la lunghezza angolare delle due corde. Da qui, noto il raggio angolare del Sole, un semplice calcolo geometrico ci fornisce la distanza p_v - p_s cercata.

E' da notare che il metodo di Halley applicato da molti astronomi nei successivi transiti del 1761, 1769, 1874 e 1882, non diede mai risultati soddisfacenti e fu soppiantato da altri metodi molto più accurati, specie in seguito all'invenzione di nuovi e raffinati orologi meccanici di precisione.

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