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Réseau d'EratosthèneL'école-pole nationale
pour le Réseau d'Eratosthène:
Traduction Isabelle Ronvaux,
classe III A, Lycée “E.Q.Visconti”, Roma Sommaire
Un instrument pour déterminer l'inclination des rayons solaires: Le mesuration:
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pdf 167 Kb
Introduction|
1. Récolte des adhésions |
Le coordinateur réunit les adhésions d'écoles par e-mail. |
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2. Création d'une mailing-list des partécipants |
Une personne de référence pour chaque école mantient les contacts avec le coordinateur à l'aide d'une mailing-list |
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3. Accords sur la méthodologie et sur les dates de l'expérience |
A traves la mailing-list on recueille les opinions et les contributions pour perfectionner notre méthode. Chaque école et le coordinateur proposent les jumelages, donc ils se mettrons d'accord pour la date de l'expérience. |
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4. Exécution de la mesuration |
Chaque école établit les instruments
et exécute la mesuration le jour de la date décidée
avec l'école jumelle, au moment de la culmination du Soleil.
Le moment de la culmination peut etre déterminé
par le biais d'un |
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5. Recueil et élaboration des résultats |
Chaque école détermine l'inclination
des rayons solaires à partir de la mesure de la longueur
de l'ombre, avec un méthode graphique ou bien en utilizant
notre |
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6. Publication |
Le coordinateur recueille et publie les |
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7. Réjouissances on-line :o) |
Ad libitum |
La méthode d'Eratosthéne
Eratosthéne
savait que à Siene (l'actuelle Assuan, qui se trouve plus ou
moins a 800 km au sud-ouest d'Alexandrie), à un moment précis
de l'année, le soleil illuminait le fond des puits. Cet événement
se répétait chaque année à midi du solstice
d'été et dépendait du fait que les rayons du soleil
tombaient verticalement. A ce moment, un petit baton planté à
terre n'aurait projeté aucune ombre. Il remarqua qu'à
Alexandrie, où il vivait, le meme jour et à la meme heure
les rayons du Soleil n'étaient pas perpendiculaires mais formaient
un angle d'environ 7° avec la verticale.
Eratosthéne sopposa, correctement, que la distance du Soleil de la Terre était très importante et que donc ses rayons étaient presque parallèles lorsqu'ils rejoignaient la surface terrestre. En plus il considérait que la Terre avait une forme sphérique.
La différence d'inclination de 7° dépend de la courbure de la surface terrestre qui change le point de vue duquel les abitants des deux villes voient le Soleil.
Il raisonna de cette manière: l'angle de 7° est congruent à l'àngle qui a pour sommet le centre de la Terre et donc ses cotés passent respectivement par Alexandrie et Siene (en effect il s'agit d'angle convenables). Il s'agit donc d'une “distance angulaire” entre les deux villes, égale à peu près à une cinquantième de l'angle plein.
Ceci signifie aussi que la distance “effective” entre les deux villes (considérée de 5.000 stades) équivaut à un cinquantième de la circonfrence terrestre.
A ce temps là l'estimation de distances tellement grandes, mesurées avec les pas, était surement très imprécise; de plus il est très difficile d'établir une équivalence exacte entre le stade et le mètre actuel. En conséquence ce n'est pas facile de déterminer la marge d'erreur des resultats obtenus par Eratosthéne.
La longueur du stade grec est une mesure très incertaine variant de 154 mètres à 215 mètres. Selon les opinions les plus sures, le stade utilisé par Eratosthéne correspondait à 185 mètres actuels: il en résulterait ainsì une circonférence terrestre de 46.265 km, une notion qui, malgré le bonne, en tenant compte de l'imprécision des instruments utilisés et des suppositions de cette période. Selon d'autres auteurs, Eratosthéne s'en approcha bien plus: le stade devait etre long 157,5 mètres et donc la circonférence calculée par lui correspondait à 39.690 km, une notion déconcertante d'actualité!
Voir:
Notre méthode
En cherchant de suivre le plus possible le méthode d'Eratosthène, nous mesurons l'inclination des rayon solaires depuis deux ou plusieurs localités différentes, situées plus ou moins sur le meme méridien, mais quelques unes situées au Nord et des autres au Sud. L'évaluation doit arriver au moment du véritable midi local, c'est à dire quand le Soleil rejoint le maximum de son hauteur par rapport à l'horizon (culmination ou transit au méridien local)
Chaque couple d'écoles pourra faire l'expérience en s'accordant sur une date bien précise. On cherchera tout de meme à travailler tous dans la meme période.
Le moment de culmination du Soleil ne correspond pas à 12 heures des montres et il est donc nécessaire de le déterminer. Il change de localité en localité et dépend surtout de la différence de longitude qui sépare chaque localité du méridien central du fuseau. Il existe en plus une petite variation saisonnière due surtout au mouvement non uniforme de la Terre dans son orbite elliptique autour du Soleil (Equation du Temps).
Il existe deus méthodes alternatives pour déterminer le moment de culmination, exposées de suite.
En tout cas, le jour fixé, en connaissant le moment de culmination, chaque position pourra se préparer avec l'avance nécessaire pour exécuter correctement le mesuration de la hauteur du Soleil.
La mesuration doit etre faite avec des simples instruments qui exigent tout de meme une certaine précision.
Il s'agit de projeter l'ombre d'un style vertical (ou bien le point de lumière qui sort d'un petit trou) sur une surface plane horizontale, de mesurer la longueur de l'ombre et la longueur du style avec la plus grande précision possible, donc de déterminer l'angle que les rayons solaires forment par rapport au plan horizontal.
Pour determiner cet
angle on se sert d'un méthode graphique fondée sur la
reproduction graphique d'un triangle et sur l'usage d'un goniomètre
ou alors on se sert d'une meéthode trigonométrique qui
consiste à calculer l'arctangente du rapport entre la
longueur du style et la longueur de l'hombre (nous proposons l'usage
d'une autre “
calculette
online”).
Les étudiants d'une classe qui participe l'expérience, se diviseront en petit groupes (de quatre ou cinq membres) pour formere quelques positions. Chaque petit group (position) exécutera la mesuration avec ses propres intruments. A la fin on recueillera les valeurs des angles obtenus et on calculera la moyenne arithmétique. Cette valeur moyenne sera la notion à confronter avec l'école jumelle située au Nord ou au Sud. Nous nous accorderons aussi pour l'éventuel calcul de l'erreur absolut (différence entre valeur maximale et minimale), utile pour introduire de simples considérations à propos des erreurs dans les mesurations. Chaque couple d'école pourra, enfin, exécuter les calculs finaux pour estimer la longueur de la circonférence terrestre.
Tous le reultats parviendront au coordinateur qui les publiera dans le site de référence.
Un instrument pour déterminer l'inclination des rayons solaires.
Opéation de préparation.
Nous proposons un matériel très simple et relativement précis. Pour chaque position sont nécessaires:
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Matériel |
A quoi sert-il |
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Une petite table |
Le petite table, ou n'importe quel plan horizontal, sert comme appui pour les instruments. Elle doit etre exposée au soleil à l'heure de la prise de données. |
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Deux petites équerres à dessein |
La combination des deus petites équerres sert pour trouver la verticalité. |
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Une feuille de papier blanche |
Sur la feuille de papier on projettera l'ombre du gnomon et on inscrira les points pour son calcul. Il doit etre disposé au-dessus de la petite table. Il doit etre assez grand pour contenir l'ombre du gnomon. |
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Un carton léger, a peu près 15x15 cm |
Il sert pour construir l'écran sur lequel on pratique un trou (trou gnomonique) à travers lequel passera un rayon de soeil. L'écran doit etre assez grand pour produir une ombre de contraste, mais il ne doit pas etre trop encombrant. |
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Un crayon et du ruban adhésif |
Pour fixer l'écran au gnomon. |
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Un levier |
Pour mettre en position la petite table de façon à obtenir un plan horizontal |
Construction du gnomon
a) Par la terme gnomon en entend un stylo ou un batonnet utilisé pour projeter une ombre sur les méridiens. Notre gnomon doit etre vertical. On attache ensemble les deux petites équerres le long d'un de leurs cotés, en utilisant du ruban adhésif.
b) Maintenant on construit l'écran avec un trou (trou gnomonique): on pratique un petit trou rond sur le carton léger de papier (quelqu'n conseille comme diamètre pour le trou 1/210 de la hauteur du gnomone, donc 1 millimètre pour chaque 25 centimètre da hauteur), après on attache le carton léger à un crayon en utilisant du ruban adhésif. Toujour avec du ruban adhésif, le crayon doit etre fixé sur la pointe des deux petites équerres, le long de leur bord en commun.
L'instrument est comme ça complet et prêt pour l'usage.
Opérations qu'il faut effectuer avant la mesuration
c) On place en plein air une petite table (si cela est possible avec trois pieds) de façon nà ce que le plan soit stable et horizontal (il faut controler l'horizontalité avec le levier).
d) On dispose le feuille de papier blanc sur la petite table.
e) On place notre instrument de mesure (les petites équerres) au-dessus de la feuille de papier de façon à ce que l'ombre projetée par l'écrain (ou bien le petit point lumineux projeté par le trou) tombe à l'intérieur de la feuille de papier. On conseille de fixer avec du ruban adhésif l'instrument à la feuille de papier, et celle-ci à la petite table.
Après avoir pris des accords avec l'école jumelle on
détermine le moment de culmination du Soleil dans sa propre localité.
Donc, dans la journé choisie, on peut procéder avec la
mesuration.
Détermination de la culmation du Soleil
Après avoir concordé le jour de l'expérience,
chaque couple d'écoles doit effectuer la mesuration à
un moment précis: la culmination
du Soleil
Après l'aube, au cours de la matinée, le Soleil monte en hauteur jusqu'à traverser le méridien du lieu, où il rejoint sa distance maximale de l'horizon. A ce moment, qu'on appelle culmination ou transit du Soleil sur le méridien local, les ombres projetées par les objets sont plus courtes que dans n'importe quel autre moment de la journée.
Ce moment ne correspond pas au midi de
notre heure civile, en plus, il est diffèrent pour chaque localité,
selon la longitude. Chaque différence de longitude d'un degré
entre deux localités correspond à 4 minutes de différence
pour le moment de culmination (voir le formulaire
de calcule online)
Pour etre précis, il est nécessaire de tenir compte de cette différence de longitude meme pour la mesure des distances entre localités (voir ensuite).
Mesuration de l'ombre
Le jour fixé et au moment de la culmination du Soleil, après que chaque positionnement a placé les instruments indiqués, on mesure la longueur de l'ombre en fixant deux points sur la feuille de papier:
a) la base du gnomon
b) le centre du petit point lumineux projété par le trou gnomonique. A ce propos, voir la page qui contient quelques importantes précisions à propos de l'usage correct du trou gnomonique.
La
distance entre ces deux points correspond à la longueur de
l'ombre. Les mesures dont on a besoin pour déterminer l'inclination
des rayons solaires sont:
1- longueur du gnomon (c'est à dire la hauteur du centre du trou gnomonique par rapport à la base d'appui)
2- longueur de l'ombre projétée par le gnomon (c'est a dire la distance entre la base du gnomon et le centre du point de lumière projeté sur le papier).
Les deux mesures doivent etre exprimées en millimétres.
Elles doivent etre reportées dans le tableau A, qu'il faut utiliser pendant la mesuration (tabA.rtf)
Détermination de l'hauteur du Soleil
L'angle
qu'il faut déterminer est a,
formé par les rayons du soleil et la verticale du lieu. Il s'appelle
aussi distance zénithale du Soleil (c'est la distance
angulaire par rapport au zénith).
Il y a deux méthodes:
-
1. une méthode graphique, qui consiste dans la reproduction fidèle du dessin du triangle rectangle formé par le stylo, l'ombre et le segment qui unit le trou gnomonique et le point de lumière projeté sur le papier. Après on mesure l'angle avec un goniomètre.
-
Une méthode trignonometrique qui consiste à calculer l'arctangente du rapport entre la hauteur du gnomon (h) et la longueur de l'ombre (b). On peut utiliser
notre
calculette online.
Meme le valeur de a doit etre reportée dans le tableaux alignées (tabA.rtf et tabB.rtf).
Usage du trou gnomonique
Comme
on a décrit, sur l'écran de papier on pratique un
petit trou (trou gnomonique).
Le faisceau de rayons solaires qui traversent le trou gnomonique se
projette sur la feuille de papier horizontale, en formant un point de
lumière ou, pour mieux dire, une ellipse lumineuse
dont les dimensions et la forme changent en fonction de plusieurs facteurs
(hauteur du gnomon, dimensions du trou, inclination des rayons solaires).
L'écran sert à éviter l'éblouissement et faciliter la visualisation du point de lumière. Donc plus grandes sont les dimensions de l'écran, meilleure est la perception visuelle de l'ellipse.
Il est important de se rappeler que:
a- La hauteur du gnomon doit etre mesurée de la base d'appui au centre du trou qui à été pratiqué sur le viseur.
b- La longueur de l'ombre qu'il faut considérer dans les calculs successifs est donnée par la distance entre la base du gnomon et le centre de l'ellipse lumineuse qui se projette sur le papier.
Déterminer le centre de l'ellipse n'est pas très facile: c'est une opération qui doit etre assez rapide pour ne pas perdre le moment de culmination du Soleil et en meme temps, suffisamente précise. Il est possible d'identifier ce point “à vue de nez”, puisque la forme symetrique meme aide pour sa détermination. Plutot que de signer le point central, il convient tracer à main libre une croix formée les deux axes. Le croisement des deux axes identifie le centre; la croix laissée sur la feuille de papier est plus facilemente repérable par rapport à petit point.
Nous proposons, pour plus de précision,
d'utiliser la technique du trou gnomonique plutot que celle du calcul
de la longueur de l'ombre d'un stylo ou d'un baton. En effet, identifier
la pointe de l'ombre d'un stylo gnomonique n'est pas facile à
cause du phénomène
de la pénombre. Avec la méthode simplifiée,
au contraire, (classes élémentaires et sixième)
on mesure la longueur de l'ombre projetée par le baton.
Le trou gnomonique est appelé aussi trou éliotropique ou gnomon photosciatérique. La photosciatérie, développée au XVIII siècle, est l'étude des montres solaires qui basent la détermination de l'heure sur la projection d'un rayon de lumière à travers un trou, et non pas sur l'ombre du gnomone. Les méridiens “à lumière” à l'intérieur des cathédrales sont un exemple fascinant de l'application de cette technique.
Détermination des distances en ligne d'air
Une des donnée fondamentales pour calculer les dimensions de notre planete est la distance en ligne d'aire entre les deux écoles qui collaborent à l'expérience. Pour faire ça, on utilise une carte géographique de l'Italie et une règle.
1. On mesure la distance en millimètres entre les deux localités.
Pour mesurer cette distance il faut émettre
quelques importantes remarques (voir distanze)
Ces considérations se fondent sur le fait qu'il ne sera pas toujours facile de trouver deux écoles qui se trouvent exactement sur le meme méridien.
Quand il y a une sensible différence, il faut mesurer la distance en kilomètres entre les parallèles qui passent par les deux localités plutot que la distance entre les deux localités.
2. On multiplie cette mesure par le fateur d'échelle et on effectue donc l'équivalence en kilomètres.
Exemple
La carte géographique a une échelle 1 : 3.000.000 et la distance entre les deux localités est de 185 mm.
Distance entre les deux villes:
mm 185 x 3.000.000 = mm 555.000.000 = km 555
Une fois ce calcul terminé, on peut procéder à la comparaison des notions et à la détermination de la circonférence terrestre.
Les calculs finaux
Les données nécessaires pour déterminer la circonférence sont:
1. la difference d'inclination des rayons solaires entre le seux localités positionnés une au Nord et l'autre au Sud.
2. la distance en ligne d'air entre les deux localités des écoles qui mettent en comparaison leurs résultats.
A ce point là, en appelant dA la différence en degrés de la hauteur du Soleil entre les deux localités et D leur distance en kilomètres, on calcule la circonférence terrestre C, en supposant que notre planète a une forme sphérique.
(1) 360 : dA = C : D
(2) C = D x 360 / dA
La (1) se fonde sur la relation de proportionnalité directe entre la longueur d'un arc et l'angle au centre correspondant: à chaque angle double, triple, quadruple ... corresponent arcs doubles, triples, quadruples ... . En connaissant donc combien de fois l'angle au centre est compris dans les 360° de l'angle tour, on aura aussi combien de fois la distance entre les deux villes est comprise dans l'entière circonférence terrestre.
Textes consultés et réferénces
G. Romano, Introduzione all'astronomia – esercitazioni e problemi per lo studio dei fenomeni celesti, Franco Muzio Editore, Padova, 1993.
Astronomia – la rivista dell'Unione Astrofili Italiani, Almanacco.
Mario Rigutti, Storia dell'astronomia occidentale – universo sfuggente, Giunti, Firenze, 1999.
Ferruccio Francescato, Le scoperte dell'astronomia – cronologia e protagonisti, Franco Muzio Editore, 1998.
Jean Meeus, Astronomia con il computer – formule, metodi di calcolo, esempi numerici. Hoepli, Milano, 1994.
Enciclopédie Britannique, http://www.britannica.com
Analemma, http://www.analemma.com
Gnomonica, http://www.gnomonica.it
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